Three-Dimensional Second-Order Tensor Fields: Exploratory Visualization and Anisotropic Sampling

Abstract

Tensors provide a powerful mathematical language to describe physical phenomena. Consequently, they have a long tradition in physics and appear in various application areas, either as intermediate product or as output of simulations or measurements. The potential of tensors to describe complex anisotropic behavior, however, concurrently complicates their interpretation. The central research question of this thesis is how three-dimensional tensor fields of second order are visualized effectively so that, as a long term goal, their interpretation becomes easier. The focus of this thesis lies on the class of indefinite tensors. The methods that are proposed in this thesis fall into two main categories: (1.) the interactive exploration of the three- dimensional tensor data, and (2.) the geometric reduction of the data to two- dimensional planes or triangulated surfaces. In both cases, possible visualization approaches are presented. For interactive exploration of the data, we propose to combine diagram views with three-dimensional hybrid visualizations. We show that this facilitates familiarizing with the data and leads to exciting analytic queries. If a geometric data reduction is possible, we focus on glyph- and texture-based methods. In this context, the thesis is concerned with methods to improve their quality. Therefore, we propose two algorithms for the efficient creation of anisotropic sample distributions. Moreover, we present a novel visualization method that works on planar slices as well as on triangulated surfaces. The basic idea of this method is to use anisotropic sample distributions for the efficient computation of anisotropic Voronoi cells, which then are used as base elements for texture mapping. Hence, the usage of textures to encode the tensor’s various degrees of freedom becomes possible. We evaluate our methods for the interactive exploration on stress tensor fields from structure simulations. To show the ffectiveness of novel visualization methods, various datasets are presented.

Tensoren stellen ein mächtiges mathematisches Konzept dar, welches sich zur Beschreibung einer Vielzahl physikalischer Phänomene eignet. Infolgedessen haben Tensoren eine lange Tradition in der Physik und treten in zahlreichen Anwendungsgebieten, entweder als Zwischenprodukt oder Ergebnis von Simulationen und Messungen, auf. Das Potential von Tensoren, komplexes anisotropes Verhalten zu beschreiben, erschwert jedoch zugleich deren Interpretation. Die zentrale Forschungsfrage dieser Arbeit ist, wie sich dreidimensionale Tensorfelder zweiter Ordnung effektiv visualisieren lassen, um auf lange Sicht deren Interpretation zu erleichtern. Der Fokus liegt hierbei auf der Klasse von indefiniten Tensoren. Um dies zu erreichen, werden in der Arbeit zwei wesentliche Richtungen vorgeschlagen: die interaktive Exploration von dreidimensionalen Tensorfeldern und die geometrische Reduktion der Daten auf zweidimensionale Schnitte oder triangulierte Oberflächen. In beiden Fällen werden mögliche Visualisierungsansätze vorgestellt. Zur interaktiven Exploration der Daten schlagen wir die Kombination von Diagrammansichten und dreidimensionalen hybriden Ansichten vor. Wenn eine geometrische Reduktion der Daten möglich ist, verfolgen wir Glyphen- und texturbasierte Visualisierungsmetho- den. Hier stellt die Arbeit insbesondere Methoden zu deren qualitativen Verbesserung mithilfe von anisotropen Samplingmethoden vor. Dazu wurden zwei Algorithmen zur Berechnung von anisotropen Samplingmethoden entwickelt, die sowohl auf planaren Schnitten als auch auf triangulierten Oberflächen anwendbar sind. Darüberhinaus wird eine neue Visualisierungsmethode präsentiert, die auf Schnitten und triangulierten Oberflächen arbeitet. Diese nutzt die mit den zuvor präsentierten Algorithmen erstell- ten anisotropen Samplingverteilungen für die effiziente Berechnung von anisotropen Voronoizellen, welche dann als Grundelement zur Texturierung verwendet werden können. Auf diese Weise wird die Verwendung von Texturen zur Kodierung der vielen im Tensor enthaltenen Informationen ermöglicht. Wir evaluieren unsere Methoden zur interaktiven Exploration anhand von Stresstensorfeldern aus Struktursimulationen. Die neuen Visualisierungsansätze werden anhand vieler unterschiedlicher Beispieldatensätze präsentiert.