Ancient Dynamics of the Einstein Equations and the Tumbling Universe

Abstract

We have shown that for admissible periodic heteroclinic chains in Bianchi IX there exisist C^1 - stable - manifolds of orbits that follow these chains towards the big bang. A detailed study of Takens Linearization Theorem and the Non-Resonance-Conditions leads us to this result in Bianchi class A. We also give an example for a periodic heteroclinic chain in Bianchi class B that allows Takens Linearization at all base points. It is an "18-cycle'', i.e. a heteroclinic chain of 18 different base points at the Kasner circle.

Wir haben gezeigt, dass es für zulässige periodische heterokline Ketten Lösungen des Bianchi IX kosmologischen Modells gibt, welche gegen die Kette in Richtung Urknall konvergieren, genauer eine C^1-stabile-Mannigfaltigkeit solcher Lösungen. Des weiteren konnten wir die Existenz einer periodischen heteroklinen Kette in Bianchi Klasse B zeigen, welche die notwendigen Nicht- Resonanz-Bedingungen erfüllt, um eine Linearisierung mittels des Takens Linearisierungssatzes an allen Basispunkten zuzulassen.