Flächeninhaltserhaltender Willmore-Fluss im asymptotisch Schwarzschildschen

Abstract

Diese Arbeit beschäftigt sich mit geschlossenen $2$-Flächen in einer umgebenden $3$-Mannigfaltigkeit $M$ und dem Willmorefunktional $W$, das grob gesprochen jeder dieser Flächen die (quadrierte) $L^2$-Norm ihrer mittleren Krümmung zuordnet. Betrachtet man $W$ auf Flächen im euklidischen Raum $M = R^3$, so handelt es sich bei Minimierern gerade um runde, beliebige Koordinatensphären; Minimierer unter vorgegebenem Flächeninhalt sind Koordinatensphären mit passend gewähltem Radius. In allgemeinen $M$ lassen sich derartige Minimierer als "nichteuklidische Analoga zu Koordinatensphären" auffassen, was sie für eine Vielzahl von Anwendungen interessant erscheinen lässt. In der vorliegenden Arbeit werden diese Minimierer mit Hilfe des flächeninhaltserhaltenden Willmore-Flusses (WFF) gesucht. Unter diesem Fluss, der aus dem klassischen Gradientenfluss (WF) von $W$ konstruiert wird, bleibt der Flächeninhalt der sich bewegenden Flächen unverändert, während der Wert von $W$ monoton fällt. Der umgebende Raum $M$ ist im überwiegenden Teil dieser Arbeit asymptotisch schwarzschildsch gewählt; das heißt, er modelliert modulo kleiner Störungen die Umgebung eines isolierten stationären schwarzen Loches. Den Kern der bewältigten Arbeit bildet die notwendige Übertragung der von E. Kuwert und R. Schätzle in [1,2,3] erarbeiteten Theorie für (WF) im $R^n$. Hierfür sind große analytische Hürden, vor allem durch die Kontrolle eines durch die Konstruktion von (WFF) erzeugten nichtlokalen Terms, und große algebraische Hürden durch die Struktur der durch die Krümmung von $M$ induzierten Zusatzterme in den Evolutionsgleichungen zu bewältigen. Darüberhinaus ist die Entwicklung geeigneter Techniken notwendig, um in nichteuklidischen Räumen eine Blowupanalyse von Singularitäten auf sinnvolle Weise durchführen zu können. Als Hauptresultate der Arbeit sind das Aufstellen eines Kurzzeitexistenzresultates für (WFF) anzusehen, sowie die Herleitung einer unteren Schranke an die maximale Existenzzeit des Flusses, die nur vom Grad der lokalen "Konzentration" der Krümmung der Startfläche abhängt. Darüberhinaus wird ein Langzeitexistenzresultat aufgestellt, das besagt, daß eine hinreichend kleine Willmoreenergie der Startfläche ausreichend ist, um die Herausbildung von Singularitäten unter (WFF) auszuschließen und Teilfolgenkonvergenz der Lösung zu einer der oben angesprochenen sphären- artigen Flächen zu erhalten. Hierfür ist zu gewährleisten, daß die Flächen nicht in den stark gekrümmten Bereich nahe des Zentrums von $M$ eindringen; es sei angemerkt, daß der Beweis derartiger Positionsabschätzungen noch nicht durchgeführt wurde, und diese daher in den Voraussetzungen zu obigen Resultaten gesondert gefordert werden müssen. Als Nebenprodukt der aufgestellten Resultate ergibt sich im Fall $M = R^3$ außerdem die glatte Konvergenz einer großen Klasse von Flächen unter (WFF) zu runden Koordinatensphären und damit die volle Übertragbarkeit der Resultate aus [1] und [3]. [1] E. Kuwert und R. Schätzle, The Willmore Flow with small initial energy, J. Differential Geom. 57(3), 409-441 (2001) [2] E. Kuwert und R. Schätzle, Gradient flow for the Willmore functional, Comm. Anal. Geom. 10(2), 307-339 (2002) [3] E. Kuwert und R. Schätzle, Removability of Point Singularities of Willmore Surfaces, Annals of Mathematics 160(1), 315-357 (2004)

We consider closed $2$-surfaces sitting in an ambient $3$-manifold $M$ and the Willmore functional $W$, that assigns to each of these surfaces the squared $L^2$-norm of its mean curvature. If we choose $M$ to be Euclidean space $R^3$, then minimizers of $W$ are round coordinate spheres of arbitrary radius; minimizers with respect to a prescribed surface area are spheres with radius chosen appropriately. In general $M$, such minimizers can be regarded as non-Euclidean analogues of round spheres, which makes them interesting for a variety of applications. In this thesis, we search for such minimizers utilizing the area preserving Willmore flow (WFF), which is constructed from the classical gradient Flow (WF) of $W$. Under (WFF), the area of the evolving surface is preserved, while the value of $W$ is non-increasing. We focus on ambient manifolds $M$ that are chosen to be asymptotically Schwarzschild, i.e. to model the neighbourhood of a static black hole up to small deviations. The core of the present work lies in the necessary adaptation and generalization of the techniques established by E. Kuwert and R. Schätzle in [1,2,3] for (WF) in $R^n$. To do this, hurdles arising from terms induced by the ambient curvature in the flow equation as well as from a non-local term caused by construction of (WFF) need to be tackled. Also, an adequate blow up machinery in non-flat $M$ needs to be set up in order to perform singularity analysis. The main results of this thesis are a short time existence result for (WFF), as well as a lower bound on the maximal existence time that can be quantified in terms of "local curvature concentration" of the initial surface. We also establish a long time existence result, stating that the solution of (WFF), for initial surfaces with suitably small Willmore energy, exists for an infinite time and converges in a subsequential sense to a sphere-like object as mentioned above. In asymptotically Schwarzschild $M$ we require the solution to stay outside the high curvature portion near the origin for the above results to hold. We note here that such position estimates for the solution have not been established yet. As a by-product of the above results, when choosing $M=R^3$, we additionally establish smooth convergence of the solutions to round coordinate spheres and thus the full adaptation of the results in [1] and [3] to (WFC) in $R^3$. [1] E. Kuwert and R. Schätzle, The Willmore Flow with small initial energy, J. Differential Geom. 57(3), 409-441 (2001) [2] E. Kuwert and R. Schätzle, Gradient flow for the Willmore functional, Comm. Anal. Geom. 10(2), 307-339 (2002) [3] E. Kuwert and R. Schätzle, Removability of Point Singularities of Willmore Surfaces, Annals of Mathematics 160(1), 315-357 (2004)