In recent years the quantum simulation of condensed-matter physics problems has resulted from ex- citing experimental progress in the realm of ultracold atoms and molecules in optical lattices. In this thesis we analyze theoretically a spinor Bose gas loaded into a three-dimensional cubic optical lattice. In order to account for different superfluid phases of spin-1 bosons with a linear Zeeman effect, we work out a Ginzburg-Landau theory for the underlying spin-1 Bose-Hubbard model. To this end we add artificial symmetry- breaking currents to the spin-1 Bose-Hubbard Hamiltonian in order to break the global U (1) symmetry. With this we determine a diagrammatic expansion of the grand-canonical free energy up to fourth order in the symmetry-breaking currents and up to the leading non-trivial order in the hopping strength which is of first order. As a cross-check we demonstrate that the resulting grand- canonical free energy allows to recover the mean-field theory. Applying a Legendre transfor- mation to the grand-canonical free energy, where the symmetry-breaking currents are transformed to order parameters, we obtain the effective Ginzburg-Landau action. With this we calculate in detail at zero temperature the Mott insulator-superfluid quantum phase boundary as well as condensate and particle number density in the superfluid phase. We find that both mean-field and Ginzburg-Landau theory yield the same quantum phase transition between the Mott insulator and superfluid phases, but the range of validity of the mean-field theory turns out to be smaller than that of the Ginzburg-Landau theory. Due to this finding we expect that the Ginzburg-Landau theory gives better results for the superfluid phase and, thus, we restrict ourselves to extremize only the effective Ginzburg-Landau action with respect to the order parameters. With- out external magnetic field the superfluid phase is a polar (ferromagnetic) state for anti-ferromagnetic (ferromagnetic) interactions, i.e. only the hyperfine spin 0 (1) is macroscopically occupied, in accor- dance with previous mean-field results. On the other hand, in the presence of the external magnetic field for ferromagnetic interaction, the superfluid phase does not change as the minimization of the energy implies the maximal spin value. However, when an anti-ferromagnetic interaction competes with the linear Zeeman effect, we can distinguish various ferromagnetic and anti-ferromagnetic su- perfluid phases within the range of validity of the Ginzburg-Landau theory. Increasing the external magnetic field yields a breaking of spin singlet pairs and a subsequent alignment of spins, thus anti- ferromagnetic phases decrease until only a ferromagnetic superfluid phase prevails. In addition, we find that the superfluid-Mott insulator phase transition is always of second order for both ferromag- netic and anti- ferromagnetic interactions. However, the transitions between different superfluid phases for an anti-ferromagnetic interaction can be both of first and second order depending on whether the respective macroscopic occupation of hyperfine spin states changes discontinuously or continuously. The established Ginzburg-Landau theory for spin-1 bosons in optical lattices will certainly be the basis for many further applications as, for instance, time-of-flight absorption pictures or collective excitations, which are of experimental importance.
In den letzten Jahren ist die Quantensimulation von Problemen der Physik der kondensierten Materie aus spannenden experimentellen Fortschritten auf dem Gebiet der ultrakalten Atome und Moleküle in optischen Gittern hervorgegangen. In dieser Arbeit untersuchen wir theoretisch ein Spinor-Bose- Gas, das in ein dreidimensionales kubisches optisches Gitter geladen wird. Um die verschiedenen superfluiden Phasen von Spin-1 Bosonen mit linearem Zeeman- Effekt zu untersuchen, erarbeiten wir eine Ginzburg-Landau-Theorie für das zu Grunde liegende Spin-1 Bose-Hubbard-Modell. Zu diesem Zweck fügen wir künstliche symmetriebrechende Ströme zum Spin-1 Bose-Hubbard-Hamiltonian, um die globale U(1)-Symmetrie zu brechen. Dann bestimmen wir eine diagrammatische Entwicklung der großkanonischen freien Energie bis zur vierten Ordnung in den symmetriebrechenden Strömen und bis zu der führenden nicht-trivialen Ordnung im Tunnelmatrixelement, die von erster Ordnung ist. Zur Kontrolle zeigen wir, dass die resultierende großkanonische freie Energie in der Lage ist, die Molekularfeld-Theorie zu reproduzierien. Eine Legendre-Transformation der großkanonischen freien Energie, wo die symmetriebrechenden Ströme in Ordnungsparameter umgewandelt werden, führt auf die effektive Ginzburg-Landau- Wirkung. Damit berechnen wir im Detail am absoluten Temperatur- nullpunkt die Mott-Isolator-Superfluid-Quantenphasengrenze sowie Kondensat- und Teilchenzahldichte in der superfluiden Phase. Wir finden, dass sowohl Molekularfeld- als auch Ginzburg-Landau-Theorie denselben Quanten- phasenübergang zwischen Mott-Isolator und superfluider Phasen erhalten, aber der Gültigkeitsbereich der Molekularfeld-Theorie stellt sich als kleiner als der der Ginzburg-Landau-Theorie heraus. Auf- grund dieser Erkenntnis erwarten wir, dass die Ginzburg-Landau-Theorie zu besseren Ergebnissen in der superfluiden Phase führen wird und beschränken uns daher darauf, die effektive Ginzburg-Landau Wirkung bezüglich der Ordnungsparameter zu extremalisieren. Ohne äußeres Magnetfeld ist die su- perfluide Phase ein polarer (ferromagnetischer) Zustand für anti-ferromagnetische (ferromagnetische) Wechselwirkung, d.h. nur der Hyperfeinspin 0 (1) ist makroskopisch besetzt in Übereinstimmung mit früheren Molekularfeld-Ergebnissen. In der Anwesenheit des externen Magnetfeldes für ferromag- netische Wechselwirkung ändert sich die superfluide Phase nicht, da eine Minimierung der Energie zu einem maximalen Spin führt. Wenn jedoch eine anti-ferromagnetische Wechselwirkung mit dem lin- earen Zeeman-Effekt konkurriert, können wir verschiedene ferromagnetische und anti-ferromagnetische superfluide Phasen im Gültigkeitbereich der Ginzburg- Landau-Theorie unterscheiden. Eine Erhöhung des externen Magnetfeldes bricht Singulett-Paare auf und führt anschließend zu einer Ausrichtung der Spins, also verringern sich die anti-ferromagnetischen Phasen, bis nur noch eine ferromagnetis- che superfluide Phase übrig bleibt. Darüber hinaus finden wir, dass der Superfluid-Mott-Isolator Phasenübergang sowohl für ferromagnetische als auch für anti-ferromagnetische Wechselwirkungen von zweiter Ordnung ist. Jedoch können die Übergänge zwischen verschiedenen superfluiden Phasen für eine anti-ferromagnetische Wechselwirkung sowohl von erster als auch von zweiter Ordnung sein, abhängig davon, ob sich die jeweilige makroskopische Besetzung von Hyperfeinspin-Zuständen diskon- tinuierlich oder kontinuierlich ändert. Die etablierte Ginzburg-Landau-Theorie für Spin-1-Bosonen in optischen Gittern wird sicherlich die Grundlage für viele weitere Anwendungen sein, wie zum Beispiel Flugzeit-Absorptionsbilder oder kollektive Anregungen, die von experimenteller Bedeutung sind.
