The experimental discovery of dilute ultracold quantum gases in 1995 has instigated a broad interest in ultracold atoms and molecules, and paved the way for extensive studies of a wide range of both experimental and theoretical topics. Various theories were developed to describe Bose-Einstein condensates (BECs) for different ranges of temperature and interaction strengths. This thesis focuses on studying the mean-field theory of the Gross-Pitaevskii (GP) equation which provides a good description for the macroscopic wave function when both quantum and thermal fluctuations are negligible. This means that the range of validity is restricted to small interaction strengths at zero temperature. Within the GP theory we study analytically and numerically the nonlinear dynamics of BECs which are induced by a harmonic modulation of either the interaction strength or the harmonic trapping potential. At first a detailed numerical investigation reveals that solving the partial differential equation of Gross and Pitaevskii can be reduced to solving ordinary differential equations for the condensate widths within a Gaussian variational approach. Despite this tremendous simplification the prominent nonlinearity of the underlying GP equation is inherited by the variational equations, which thus allow to describe a rich variety of nonlinear phenomena in different experimental setups. In order to describe them analytically we transfer the Poincar\'e-Lindstedt method, which represents a well-established tool in the field of nonlinear dynamics, to the Gaussian variational approach. Modulation of some of the parameters of a BEC can give rise to prominent nonlinear features, such as shifts in the frequencies of collective oscillation modes, higher harmonics generation, and resonant mode coupling. As a first application we consider a recent Bose-Einstein condensate of Li-7, which has been excited experimentally by a harmonic modulation of the atomic s-wave scattering length with the help of a Feshbach resonance. Combining an analytical perturbative approach with extensive numerical simulations, we analyze the emerging nonlinear dynamics. In particular, we present the resulting shift of collective excitation spectra close to parametric resonances where the driving frequency coincides with a collective mode frequency. Another application of experimental importance is to study geometric resonances in BECs with two-body and three-body contact interactions, where changing the geometry of the trapping potential leads to commensurate collective excitation frequencies with emerging nonlinear effects such as frequency shifts and resonant mode coupling. In this context we also show that a small repulsive three-body interaction is able to extend the stability region of the condensate for an attractive two-body interaction as it increases the critical number of atoms in the trap. Apart from a periodic modulation of a system parameter the dipole mode frequency can be excited by introducing an abrupt change in the potential, where the center of mass oscillates according to the Kohn theorem back and forth in the trapping potential with the natural trap frequency irrespective of both the strength and the type of the two-particle interaction. To this end, we study the collective excitation modes of a Bose-Einstein condensate in a harmonic Ioffe- Pritchard in the vicinity of a Feshbach resonance for experimentally realistic parameters of a Rb-85 BEC, where the dipole mode is excited in z-direction. A linearization of the underlying equations of motions shows that the dipole mode frequency decreases when the bias magnetic field approaches the Feshbach resonance, so the Kohn theorem is violated. Finally within a variational approach we discuss the physical properties of a BEC in an axially-symmetric harmonic trap with a single vortex in the center. At first we analyze the equilibrium configuration and determine the vortex size as well as the Thomas- Fermi radii of the condensate in the Thomas-Fermi limit. Then we calculate the critical rotation frequency for the emergence of the vortex and compare our findings with the literature. Finally, we investigate how the presence of the vortex changes the collective excitation frequencies and we discuss the free expansion of the BEC. All these results indicate how nonlinear dynamics properties could be made clearly observable in future experiments on the basis of our results.
Die experimentelle Entdeckung verdünnter ultrakalter Quantengase im Jahre 1995 hat ein breites Interesse an ultrakalten Atomen und Molekülen hervorgerufen und den Weg zu intensiven weitreichenden Untersuchungen sowohl experimenteller als auch theoretischer Themen bereitet. Verschiedene Theorien wurden entwickelt, um Bose-Einstein-Kondensate (BECs) in verschiedenen Temperaturbereichen und mit unterschiedlichen Wechselwirkungsstärken zu beschreiben. Die vorliegende Doktorarbeit konzentriert sich auf die Gross- Pitaevskii (GP) Molekularfeldtheorie, die eine gute Beschreibung der makroskopischen Wellenfunktion darstellt, wenn sowohl quantenmechanische als auch thermische Fluktuationen vernachlässigbar sind. Das bedeutet, dass der Gültigkeitsbereich auf kleine Wechselwirkungsstärken am absoluten Temperaturnullpunkt beschränkt ist. Innerhalb der GP-Theorie studieren wir analytisch und numerisch die nichtlineare Dynamik von BECs, die durch eine harmonische Modulation von entweder der Wechselwirkungsstärke oder des harmonischen Fallenpotentials hervorgerufen wird. Zunächst zeigt eine detaillierte numerische Untersuchung, dass das Lösen der partiellen Differentialgleichung von Gross und Pitaevskii auf das Lösen von gewöhnlichen Differentialgleichungen für die Kondensatbreiten innerhalb eines Gaußschen Variationsansatzes zurückgeführt werden kann. Trotz der erheblichen Vereinfachung wird die Nichtlinearität der zugrundeliegenden GP-Gleichung auf die Variationsgleichungen übertragen, so dass eine Beschreibung der reichhaltigen nichtlinearen Phänomene in verschiedenen experimentellen Aufbauten möglich ist. Um diese analytisch zu beschreiben, übertragen wir die Poincar\'e-Lindstedt-Methode, die ein etabliertes Werkzeug im Gebiet der nichtlinearen Dynamik darstellt, auf den Gaußschen Variationszugang. Die Modulation eines Parameters im BEC kann zu bedeutenden nichtlinearen Eigenschaften führen, wie z.B. Verschiebungen in den Frequenzen kollektiver Moden, Erzeugung höherer Harmonischer und resonate Modenkopplung. Als eine erste Anwendung betrachten wir ein neues Experiment mit einem Li-7 Bose- Einstein-Kondensat, das durch eine harmonische Modulation der s-Wellenstreulänge mit Hilfe einer Feshbach Resonanz angeregt wurde. Durch Kombination eines analytischen störungstheoretischen Zuganges mit aufwändigen numerische Simulationen analysieren wir die sich ausbildende nichtlineare Dynamik. Insbesondere untersuchen wir die resultierende Verschiebung der kollektiven Anregunsspektren in der Nähe einer parametrischen Resonanz, wo die antreibende Frequenz mit einer kollektiven Modenfrequenz zusammenfällt. Eine andere Anwendung von experimenteller Bedeutung besteht darin, geometrische Resonanzen in BECs mit Zwei- und Drei-Teilchen-Wechselwirkungen zu studieren, wo eine Veränderung der Geometrie des Fallenpotentials zu kommensurablen kollektiven Anregungsfrequenzen mit emergenten nichtlinearen Efekten wie Frequenzverschiedungen und resonanter Modenkopplung führt. In diesem Zusammenhang zeigen wir auch, dass eine kleine repulsive Drei-Teilchchen- Wechselwirkung die Stabilitätsregion eines Kondensates mit einer attraktiven Zwei-Teilchen-Wechselwirkung vergrößern kann, da dies die kritische Atomzahl in der Falle erhöht. Abgesehen von einer periodischen Modulation eines Systemparameters kann die Dipolmodenfrequenz auch dadurch angeregt werden, dass man eine plötzliche Änderung des Potential bewirkt, so dass der Schwerpunkt gemäß des Kohn-Theorems im Fallenpotential unabhängig von der Stärke und von dem Typ der Zwei-Teilchen-Wechselwirkung mit der natürlichen Fallenfrequenz hin- und heroszilliert. Hierzu studieren wir die kollektiven Anregungsmoden eines Bose-Einstein-Kondensates in einer harmonischen Ioffe- Pritchard-Falle in der Umgebung einer Feshbach-Resonanz für experimentell realistische Parameter eines Rb-85 BECs, wo die Dipolmode in z-Richtung angeregt ist. Eine Linearisierung der zugrunde liegenden Bewegungsgleichungen zeigt, dass die Dipolmodenfrequenz kleiner wird, wenn das Magnetfeld die Feshbach-Resonanz erreicht, so dass das Kohn-Theorem verletzt wird. Schließlich diskutieren wir innerhalb eines Variationszuganges die physikalischen Eigenschaften eines BECs in einer axialsymmetrischen harmonischen Falle mit einem einzelnen Vortex im Zentrum. Zunächst untersuchen wir die Gleichgewichtskonfiguration und bestimmen sowohl die Vortex-Größe als auch die Thomas-Fermi-Radien des Kondensates im Thomas-Fermi-Limes. Dann berechnen wir die kritische Rotationsfrequenz für die Emergenz eines Vortex und vergleichen unsere Ergebnisse mit der Literatur. Schließlich untersuchen wir, wie die Anwesenheit eines Vortex die kollektiven Anregungsfrequenzen verändert und wir diskutieren die freie Expansion eines BECs. All diese Resultate zeigen, wie nichtlineare dynamische Eigenschaften auf der Grundlage unserer Resultate in künftigen Experimenten beobachtet werden können.
