Stability and Moduli of Decorated Principal Bundles on Projective Schemes

Abstract

This thesis investigates certain decorated principal bundles on smooth projective schemes whose appearance in algebraic geometry was influenced by theoretical physics. We will consider the moduli space of autodual instanton bundles on projective space and canonical reductions of principal Higgs bundles on smooth projective curves. In the first chapter, we introduce the main objects of study, namely vector and principal bundles on projective spaces. We give the necessary definitions of linear algebraic groups and group schemes. We also explain stability conditions for these and explain how autodual vector bundles and Higgs bundles can be interpreted as principal bundles with decorations. The second chapter is devoted to the study of autodual instanton bundles on projective space. We explain how instanton bundles of trivial splitting type can be constructed from ADHM-data. After that we investigate how the autoduality structure is reflected in the ADHM- datum and obtain an extended datum. For symplectic and orthogonal instanton bundles these extended data can be refined. Finally we take a look at the construction of examples of symplectic and orthogonal instanton bundles from an extended ADHM-datum. In the last chapter, we investigate principal Higgs bundles on smooth projective curves. We start by introducing root systems and complementary polyhedra and explain how a connected reductive algebraic group equipped with a maximal torus defines a root system. We then explain Behrend’s construction of the complementary polyhedron associated to a principal bundle and compute some examples. A section is devoted to the study of torus reductions. Then we give an original construction of a complementary polyhedron associated to a principal Higgs bundles. Finally we give consequences of the complementary Higgs polyhedron, i.e. the existence and uniqueness of a canonical Higgs reduction.

Diese Dissertation untersucht dekorierte Prinzipalbündel auf glatten projektiven Schemata. Wir betrachten den Modulraum autodualer Instantonbündel auf projektiven Räumen sowie kanonische Reduktionen von Higgs-Prinzipalbündeln auf glatten projektiven Kurven. Das Aufkommen dieser Objekte in der algebraischen Geometrie wurde stark von theoretischer Physik beeinflusst. Im ersten Kapitel führen wir die zugrundeliegenden Objekte ein, nämlich Vektor- und Prinzipalbündel auf projektiven Räumen. Wir definieren linear algebraische Gruppen und Gruppenschemata. Desweiteren erklären wir Stabilität dieser Bündel und zeigen wie autoduale Vektorbündel und Higgs-Bündel als dekorierte Prinzipalbündel aufgefasst werden können. Im zweiten Kapitel widmen wir uns dem Studium von autodualen Instantonbündeln auf projektiven Räumen. Wir erklären wie Instantonbündel von trivialem Spaltungstyp aus den sogenannten ADHM-Daten konstruiert werden können. Danach untersuchen wir wie die Autodualität sich in diesen ADHM-Daten widerspiegelt und erhalten daraus ein erweitertes Datum. Im symplektischen und orthogonalen Fall kann dieses erweiterte Datum noch weiter verfeinert werden. Schießlich werfen wir einen Blick auf die Konstruktion von Beispielen von symplektischen und orthogonalen Instantonbündeln aus diesen erweiteren ADHM-Daten. Im letzten Kapitel untersuchen wir Higgs-Prinzipalbündel auf glatten projektiven Kurven. Wir beginnen mit Wurzelsystemen und komplementären Polyedern und erklären wie eine zusammenhängende reduktive algebraische Gruppe zusammen mit einem maximalen Torus ein Wurzelsystem definiert. Dann erklären wir die Konstruktion von Behrend die einem Prinzipalbündel einen komplementären Polyeder zuordnet und geben zur Verdeutlichung einige Beispiele. Einen Abschnitt widmen wir außerdem den Torusreduktionen. Anschließend geben wir eine Konstruktion die einem Higgs-Prinzipalbündel einen komplementären Polyeder zuordnet. Zum Abschluß erklären wir die Konsequenzen des komplementären Higgs-Polyeder, nämlich die Existenz und Eindeutigkeit einer kanonischen Higgs-Reduktion.