We use the results of Quigley and Shah to give a formula for the geometric fixed points of real topological cyclic homology of a bounded below ring spectrum with anti-involution. The anti-involution on a ring spectrum $A$ gives rise to a spectrum with canonical left and right $A$-module structures, whose tensor product over $A$ can be equipped with an action by the cyclic group of order 2. Our formula is then given by the homotopy equalizer of two maps from the homotopy fixed points to the Tate construction. Furthermore, we show that this homotopy equalizer is equivalent to the one given in the computation by Dotto, Moi and Patchkoria, thereby proving their result with different methods.
As an application of our result we calculate the real topological cyclic homology of group ring spectra for abelian groups and certain classes of dihedral groups. We do this for arbitrary ground ring spectra, whose underlying spectra are bounded below. This is accomplished via a decomposition formula for the dihedral bar construction of a group.
Wir benutzen die Ergebnisse von Quigley und Shah um eine Formel für die geometrischen Fixpunkte von reeller topologischer zyklischer Homologie eines nach unten beschränkten Ringspektrums mit Antiinvolution herzuleiten. Die Antiinvolution auf einem Ringspektrum $A$ induziert ein Spektrum mit sowohl der kanonischen Struktur eines $A$-Linksmoduls als der kanonischen Struktur eines $A$-Rechtsmoduls, deren Tensorprodukt über $A$ mit einer Wirkung der zyklischen Gruppe der Ordnung 2 ausgestattet werden kann. Unsere Formel ist gegeben durch den homotopietheoretischen Differenzkern zweier Abbildungen von den Homotopiefixpunkten dieses Tensorprodukts in die Tate-Konstruktion dieses Tensorprodukts. Wir zeigen außerdem, dass dieser Differenzkern äquivalent ist zu dem, der von Dotto, Moi und Patchkoria in ihrer Berechnung der geometrischen Fixpunkte von reeller topologischer zyklischer Homologie hergeleitet wurde, sodass wir ihr Ergebnis mit anderen Methoden beweisen können.
Als Anwendung berechnen wir die reelle topologische zyklische Homologie von Gruppenringspektren für abelsche Gruppen und gewisse Klassen von Diedergruppen. Wir machen dies für beliebige Grundringspektren, unter der Voraussetzung, dass das zugrundeliegende Spektrum nach unten beschränkt ist. Für die Berechnung machen wir Gebrauch von einer Zerlegung der "dihedral-bar"-Konstruktion.
