Quantum error correction is an essential ingredient in the development of quan- tum technologies. Its core subject is to investigate ways to embed quantum Hilbert spaces into a physical system such that this subspace is robust against small imperfections in the physical systems. This task is exceedingly complex: for one, this is due to the vast diversity of possible physical systems with dif- ferent inherent structure to use. For another, every different physical setting also comes with different types of dominant imperfections that need to be protected against. Bred by the complexity of this technological ambition, research on quantum error correction has developed into a large field of research that ranges from questions about the engineering of small systems with a single photon to the creation of macroscopic topological phases of matter and models of complex emergent physics. A quintessential tool in quantum error correction is the stabilizer formalism, which tames complicated quantum systems by enforcing symmetries. A Gottesman-Kitaev-Preskill (GKP) code is a stabilizer code that creates a log- ical subspace within the infinite dimensional Hilbert space of a collection of quantum harmonic oscillators by endowing it with translational symmetries. While practical approaches to GKP codes consider the infinitude of the Hilbert space, as well as the infinitude of the translational symmetry group as obstacles for implementation, in theory these are precisely the features that make the theory of GKP codes particularly rich, well behaved and well-connected to fascinating topics in mathematics. The purpose of this thesis is to explore these connections: to understand the coding theoretic- and practical properties of GKP codes, utilizing its rich mathematical foundation, and to provide a foundation for future research. Along this journey we discover – through the looking glass of GKP codes – how quantum error correction in general fits into a fabulous mathematical world and formulate a series of dreams about possible directions of research.
Die Quantenfehlerkorrektur ist ein wesentlicher Bestandteil der Entwicklung von Quantentechnologien. Ihr Ziel ist die Erforschung von Einbettungen von quantenmechanischen Hilbert-Räumen in physikalische Systeme, sodass die so geschaffenen Unterräume robust sind gegenüber kleinen Fehlern, welche im physikalischen System auftreten können. Diese Aufgabe ist äußerst komplex: Zum einen liegt dies an der enormen Vielfalt potentieller physikalischer Systeme mit unterschiedlicher inhärenter Struktur für diese Aufgabe. Zum anderen re- alisiert jedes physikalische System auch unterschiedliche Formen von Fehlern, gegen welche es sich zu schützen gilt. Aufgrund der komplexen technologischen Ambitionen hat sich die Forschung zur Quantenfehlerkorrektur zu einem weitreichenden Forschungsgebiet entwickelt. Sie behandelt Fragestellungen, welche von Fragen zur Konstruktion und Kontrolle kleiner Systeme mit einem einzigen Photon bis hin zur Schaffung makroskopischer topologischer Phasen der Materie und Modellen komplexer emergenter Physik reichen. Ein wesentliches Instrument der Quantenfehlerkorrektur ist der stabilizer Formalismus, welcher es erlaubt, komplexen Quantensystemen mithilfe von for- cierten Symmetrien eine klare Struktur zu verleihen. Ein Gottesman-Kitaev- Preskill (GKP) Code ist ein solcher stabilizer code, der einen logischen Unter- raum innerhalb des unendlich dimensionalen Hilbert-Raumes einer Ansamm- lung von harmonischen Quantenoszillatoren schafft, indem er ihn mit Trans- lationssymmetrien ausstattet. In praktischen Ansätzen zu GKP Codes wird die Unendlichkeit des Hilbert-Raumes, sowie die Unendlichkeit der Translationssymmetriegruppe, oft als Hürde für die Implementation betrachtet. In ihrer Theorie jedoch, sind es genau diese Eigenschaften, die die Theorie der GKP Codes besonders reichhaltig und interessant macht, sowie Brücken zu modernen mathematischen Forschungsthemen baut. Der Inhalt dieser Arbeit ist es, diese Brücken zu erforschen: die kodierungstheoretischen und praktischen Eigenschaften von GKP Codes zu verstehen und Brückenpfeiler für zukünftige Forschung zu errichten. In diesem Bestreben entdecken wir – aus der Perspektive von GKP Codes – wie die Quantenfehlerkorrektur im Allgemeinen ihren Platz in einer reichen mathematische Welt einnimmt und formulieren eine Reihe von Visionen zu möglichen Forschungsrichtungen, die sich aus den Untersuchungen ergeben.
