Study of Intrinsically Curved Elastic Rods Under External Loads with Applications to Concentric Tube Continuum Robots and their Control

Abstract

Using variational principles, we investigate elastic rod structures under external loads that are clamped at one end and free at the other. Their stability properties are analyzed using second order conditions by generalizing the Jacobi theory of conjugate points. The notion of the index, which quantifies the dimension of the subspace of variations over which the second variation is negative, is also generalized to this class of problems. The variational structure of the parameter- dependent calculus of variations problems can be exploited to detect the changes in the index at the folds as the parameter is varied, with the assistance of distinguished bifurcation diagrams. We generalize these plots to cover our current case with fixed-free ends. Furthermore, we extend the investigation to the problems with discontinuous integrands by generalizing the concept of conjugate points, index, and distinguished bifurcation diagrams to them. For this purpose, second-order matching conditions are derived at the points of discontinuity. These techniques are developed with the aim of employing them in soft robotic applications, a field that is increasingly gaining popularity. Applications such as Concentric Tube Continuum Robots (CTCRs) employ intrinsically curved rods to generate flexible mechanisms. We emphasize the impact of intrinsic curvature, which is often a source of complex mechanics, on the equilibria of elastic rods and their stability. The interplay between geometric non-linearities, external load, and intrinsic curvature leads to intriguing and complex behavior such as snap-back instability. We study the influence of the parameters, such as intrinsic curvature, length, tip load, and lever arm of the load on this behavior. This study aids in their efficient utilization in practical applications. We extend this investigation to CTCRs, which resemble an intrinsically curved elastic rod with slightly different physics. These robots consist of multiple sections, and their properties change abruptly at the boundary of each section. This research has the potential to advance the design and control of robots for tackling more complex tasks. Finally, an open-loop gradient-based navigation is devised to model the robot maneuver using optimal control techniques. Through this approach, various tasks can be modelled in terms of objective functions that are subsequently optimized. We consider optimal control of CTCRs parameterized over pseudo-time, primarily focusing on minimizing the robot’s working volume during its motion. A numerical strategy to implement this optimization task is also discussed. This optimal control-based methodology can be adapted to any backbone-based continuum robots.

Mithilfe von Variationsrechnung untersuchen wir das Verhalten elastischer Stabtragwerke unter äußeren Lasten, die an einem Ende eingespannt und am anderen Ende frei sind. Die Stabilitätseigenschaften der Gleichgewichte werden unter Verwendung von Bedingungen zweiter Ordnung durch Verallgemeinerung der Jacobi’sche Theorie der konjugierten Punkte analysiert. Der Indexbegriff, der die Dimension des Unterraums der Variationen quantifiziert, über dem die zweite Variation negativ-definit ist, wird auf diese Klasse von Problemen erweitert. Die Variationsstruktur der parameterabhängigen Variationsrechnung wird ausgenutzt, um die Änderungen des Index an den Falten in Spezielle Bifurkationsdiagramme vorherzusagen. Wir verallgemeinern diese Diagramme auf Probleme mit aktuellen feste-frei Enden. Außerdem untersuchen wir die Stabilität von Variationsproblemen mit diskontinuierlichen Integranden, indem wir das Konzept der konjugierten Punkte, des Index und der Spezielle Bifurkationsdiagramme auf diese erweitern. Zu diesem Zweck werden Anpassungsbedingungen zweiter Ordnung an den Unstetigkeitsstellen hergeleitet. Diese Techniken werden mit dem Ziel entwickelt, sie in Soft-Roboter-Anwendungen einzusetzen, einem Bereich, der zunehmend an Beliebtheit gewinnt. Einige Anwendungen wie Concentric Tube Continuum Robots (CTCRs), verwenden intrinsisch gekrümmte Stäbe, um flexible Mechanismen zu erzeugen. Das Zusammenspiel von geometrischen Nichtlinearitäten, externen Lasten und intrinsischer Krümmung führt zu faszinierendem und komplexem Verhalten, wie z.B. der Snap-Back-Instabilität. Die Untersuchung der Abhängigkeit dieses Verhaltens von Parametern wie Eigenkrümmung, Länge, Spitzenlast und Hebelarm der Last hilft bei der effizienten Nutzung in praktischen Anwendungen. Wir erweitern diese Untersuchung auf CTCRs, die einem in sich gekrümmten elastischen Stab ähneln, aber eine etwas andere Physik aufweisen. Diese Forschung hilft bei der Entwicklung und Steuerung von Robotern für komplexere Aufgaben. Diese Roboter bestehen aus mehreren Abschnitten und ihre Eigenschaften ändern sich abrupt an den Grenzen der einzelnen Abschnitte. Schließlich wird eine gradientenbasierte Navigation mit offenem Regelkreis eingesetzt, um das Robotermanöver mit optimalen Kontrollmethoden zu modellieren. Mit diesem Ansatz werden mehrere komplexe Aufgaben in Form von Zielfunktionen quantifiziert, die optimiert werden. Wir betrachten die optimale Steuerung von CTCRs, die über Pseudozeit parametrisiert sind, und konzentrieren uns dabei auf die Minimierung des Arbeitsvolumens des Roboters während seines Betriebs. Eine numerische Strategie zur Durchführung der resultierenden Optimierung wird ebenfalls vorgestellt.