In this thesis we investigated set systems on geometric point data in Euclidean space from a macroscopic (first two chapters) and microscopic (last chapter) perspective.
In Chapter A we described cloud sets, which are set systems build on points which give rise to simplicial complexes as control structures. The preferred instance of such structure is a simplicial surface (making the cloud complex a cloud surface), so that the system of clouds mimics the properties of a collection of subsets we find in an atlas describing a 2-manifold. We discussed the generation of cloud surfaces on one hand starting with a simplicial surface, generating points, and placing them in clouds. On the other hand we focused on the reverse direction, obtaining the clouds from a point set which led to topolgical questions on coverings. In practice we used the cloud surfaces' underlying simplicial surface as a skeleton to perform point motions in Euclidean space.
In Chapter B we derived a second set system which is dual to the one in the first chapter under certain conditions. For the resulting complex we conjectured them to be surface-like, i.e. having combinatorial properties so that each point has at least an abstract vicinity which is perceivable to be 2-dimensional. For their construction we presented a k-means clustering approach for point sets coupled with an application of generating a simplified polygonal surface out of the segmentation also reconstructing polygonal faces which are not necessarily simply connected.
In Chapter C we partitioned the microscopic investigation inside a cloud in two. First we set up a large scale evaluation to determine a neighborhood around a point accounting as an approximation of a 2-dimensional vicinity using an energy model on feature classification entities built from eigenvalues obtained by a weighted point distribution analysis. The evaluation explores the parameter spaces of the weighting function and combinatorial neighborhood sizes of the point distributions. Secondly we proposed the flatness model as a feature classification entity favoring point distributions which appear to be 2-dimensional and not curve-like or volumetric. This continuous model then is incorporated into a point set denoising application to evaluate its potency using less parameters and preserving geometric features without the necessity of point normal information.
In dieser Arbeit werden Punktmengen, welche wie in unserem Fall zumeist von Flächen im 3-dimensionalen Raum stammen und als Repräsentation für diese Flächen dienen, mit einer Struktur versehen und zwei Perspektiven untersucht.
Die erste ist dabei eine makroskopische Sichtweise. Im ersten Kapitel werden Punkte derart durch ein Mengensystem (genannt Wolken oder Punktwolken) organisiert, dass eine simpliziale Fläche als Kontrollstruktur abgeleitet werden kann. In der Praxis betrachten wir zwei Möglichkeiten der Generierung einer solchen Kontrollstrutkur: zum einen startend von einer simplizialen Fläche, bei der wir Punkte erzeugen und in Wolken verteilen, zum anderen ausgehend von Punkten im Raum, bei der wir Teilmengen gegebener Punkte durch eine Überlagerung ausschneiden, um die simpliziale Fläche zu erhalten. Die Wolken erinnern durch ihre Beziehung zueinander an Teilmengen der Karten eines Atlas für eine Mannigfaltigkeit und mit dieser Struktur untersuchen wir im Bereich der Anwendungen, inwiefern Bewegungen der Punkte im Raum durch Positionsänderungen einer Einbettung der Kontrollstruktur im Raum hervorgerufen werden können, wobei der Einfluss auf die Punkte durch die Wolken gesteuert wird. Im zweiten Kapitel betrachten wir ein zweites Mengensystem, welches sich unter Umständen dual zum ersten verhält. Hierbei werden in der Kontrollstruktur Wolken nicht durch Punkte repräsentiert, sondern durch 2-dimensionale Entitäten berandet durch möglicherweise mehrere Kurven. Die Generierung eines solchen Mengensystems erreichen wir durch eine Segmentierung der Punkte, welche orientierte Punktnormalen respektiert. Im Bereich der Anwendung betrachten wir die Erzeugung eines polygonalen Netzes für die Kontrollstruktur, sodass wir eine simplifizierte Repräsentation und somit Approximation der Punkte erhalten.
Die zweite Perspektive untersucht eine mikroskopische Sichtweise. Im Gegensatz zur Betrachtung der Verbindung der Wolken untereinander, konzentrieren wir uns hier auf eine Wolke und die Punkte, die sie enthält. Dabei betrachten wir eine Wolke in diesem Sinne als eine Nachbarschaft der Punkte, die sie enthält und zumeist in einem lokalen Szenario, sodass für einen Punkt gezielt nach einer individuellen Nachbarschaft gesucht wird. Im ersten Teil wird eine solche Nachbarschaft bewertet durch eine Energie basierend auf geometrischen Merkmalen und zusätzlich gewichtet durch Punktnormalen. Der Parameterraum für die Gewichtung und Größen der Nachbarschaften wird dann in einem breit, d.h. basierend auf einer Vielzahl von Modellen, angelegten Experiment analysiert. Der zweite Teil widmet sich einer Beschreibung einer neuen Energie im 3-dimensionalen Raum zur Ermittlung von geometrischen Merkmalen. Diese ist für Punkte in Flächen konzipiert, wobei flächige Regionen durch niedrige Energiewerte bevorzugt und kurvige oder volumetrische Regionen durch hohe Energiewerte ausgesondert werden. Das daraus enstehende kontinuirliche Modell wird folgend integriert in eine Anwendung zum Entrauschen von Punktmengen ohne weitere Informationen wie zum Beispiel Punktnormalen.
