To solve partial differential equations on unbounded domains numerically, the unbounded domain is typically divided into a bounded interior domain and an unbounded exterior domain. The equation is then only solved on the bounded interiour domain and transparent boundary conditions are applied on the interface between the interior and the exterior domain. In this thesis, the Helmholtz resonance problem is solved on unbounded domains. When doing so, the transparent boundary conditions give rise to unphysical solutions, so called spurious solutions. These solutions are artefacts that can be traced back to the discretization of the transparent boundary condition. In real-world problems it is often difficult to distinguish the spurious from the physical solutions of a problem without a priori knowledge of the anticipated spectrum or the field distribution in the interior. For the spurious solutions caused by the transparent boundary conditions, there exists no common theory or framework for their detection or removal. In this thesis, an algorithm is developed that can reliably detect the spurious solutions caused by the transparent boundary conditions within the computed resonance spectrum and removes them from it. The algorithm uses the pole condition as transparent boundary condition and its implementation with Hardy space infinite elements. The advantage of this mehtod is that there extists a parameter that can be chosen freely within certain limits and that can be used to detect spurious solutions. A formula is derived to directly compute the reaction of the eigenvalues to perturbations of this parameter. In order to obtain reliable results, this formula is complemented with a comnvergence monitor. The method combining the perturbation formula and the convergence monitor is applied to some examples from nano-optics and acoustics.
Um partielle Differentialgleichungen auf unbeschränkten Gebieten numerisch zu lösen, wird das unbeschränkte Gebiet üblicherweise in einen beschränkten Innenraum und einen unbeschränkten Außenraum zerteilt. Die Gleichung wird dann nur auf dem beschränkten Innenraum gelöst und am Übergang zwischen Innenraum und Außenraum werden transparente Randbedingungen verwendet, die das Verhalten der Lösung im unbeschränkten Außenraum approximieren. In der vorliegenden Arbeit wird die Helmholtz-Gleichung als Resonanzproblem auf unbeschränkten Gebieten gelöst. Dabei verursachen die transparenten Randbedingungen unphysikalische Lösungen, die das berechnete Frequenzspektrum verunreinigen. Diese Lösungen sind Artefakte, die durch die Diskretisierung mit transparenten Randbedingungen zurückzuführen sind. In der Praxis ist es oftmals schwierig, diese von den physikalischen Lösungen des Problems zu unterscheiden, wenn man kein a priori Wissen über das erwartete Eigenwertspektrum des untersuchten Objekts oder die Feldverteilung in seinem Inneren hat. Für diese Art von unphysikalischen Lösungen existiert bislang keine einheitliche Theorie und kein globaler Ansatz zu ihrer Vermeidung. In der vorliegenden Arbeit wurde ein Algorithmus entwickelt, der auf zuverlässige Art und Weise die zweite Art von unphysikalischen Lösungen im Frequenzspektrum erkennt und sie daraus entfernt. Dieser Algorithmus verwendet als transparente Randbedingung die Polbedingung, insbesondere ihre Implementierung als infinite Hardy-Raum Elemente. Diese Methode hat den Vorteil, dass ein Parameter existiert, der in einem gewissen Rahmen frei gewählt werden kann. Da die zweite Art von unphysikalischen Lösungen von der Randbedingung verursacht werden, hängen sie auch stärker von der Variation dieses Parameters ab als die physikalischen Lösungen des Problems. In der Arbeit wurde eine geschlossene Formel hergeleitet, die aus der Variation des Polbedingungsparamters direkt die Reaktion der Eigenwerte berechnet. Diese Methode kann aber nur funktionieren, wenn die Lösung im Außenraum konvergiert ist, weshalb die Methode um einen neu entwickelten Konvergenz-Monitor ergänzt wurde, der es ermöglicht, zu jeder Resonanzfrequenz die Konvergenzrate der Polbedingung zu bestimmen. Die Kombination beider Methoden ermöglicht so eine zuverlässige und robuste Identifizierung der unphysikalischen Lösungen in den berechneten Spektralbereichen. Der Algorithmus, der beide Methoden vereint, wurde in der Arbeit auf eine Reihe von Beispielen aus der Nano-Optik und der Akustik angewendet.
