In this thesis we have studied balanced model reduction techniques for linear con- trol systems, specifically balanced truncation and singular perturbation approxi- mation. A special feature of these methods, as compared to closely related rational approximation techniques for linear systems, is that they allow for an a priori L2 and (frequency domain) H ∞ bounds of the approximation error. These methods have been successfully applied for system with homogeneous initial conditions but only little attention has been paid to systems with inhomogeneous initial condi- tions or feedback systems. For open- loop control proplems, we have derived an L2 error bound for bal- anced truncation and singular perturbation approximation for system with non- homogeneous initial condition, extending research work by Antoulas etal. The theoretical results have been validated numerically with extensive comparison be- tween different systems and balanced truncation and singular perturbation model reduction. For closed-loop, one of the most important methods in control problems called linear quadratic regulator (LQR) has been introduced. This is used to find an optimal control that minimizes the quadratic cost function. In order to do that we have used formal asymptotics for the Pontryagin maximum principle (PMP) and the underlying algebraic Riccati equation. The outcome of this section are case description under which balanced truncation and the singular perturbation approximation give good closed-loop performance. The formal calculations are validated by numerical experiments, illustrating that the reduced-order can be used to approximate the optimal control of the original system. Finally, we studied two different test cases to demonstrate the validity of the the- oritical results.
Diese Dissertation behandelt balancierte Modellreduktionsverfahren für lineare Differentialgleichungen, speziell das balancierte Abschneiden (”balanced truncation”) sowie die Approximation im Rahmen der Theorie singulär gestörter Systeme (”singular perturba- tion approximation”). Balancierte Modellreduktionsverfahren zeichnen sich gegenüber vergleichbaren rationalen Approximationsverfahren dadurch aus, dass sie a priori Fehler- schranken im L2 -Sinne sowie im H ∞ (Frequenzraum) für Systeme mit homogenen Anfangsbedingungen haben Allerdings gibt es bislang kaum Untersuchungen zu Systemen mit inhomogenen Anfangsbedingungen oder Feedback-Steuerung. Im ersten Teil dieser Arbeit wurden ausgehend von Resultaten von Antoulas et al. L2 - Fehlerschranken für lineare gesteuerte Systeme (”open loop control”) mit inhomogenen Anfangswerten hergeleitet und für verschiedene Approximationen (”truncation”, ”singular perturbation approximation”) anhand numerischer Beispiele in Bezug auf den tatsächlichen Approximationsfehler miteinander verglichen. Im zweiten Teil der Arbeit wurde untersucht, inwieweit balancierte Modellreduktionsver- fahren im Zusammenhang mit linearen Regelungsproblemen (”closed loop control”) eingesetzt werden können. Dazu wurden reduzierte Modelle des linear quadratischen Reglers (LQ-Reglers) mit Hilfe formaler asymptotischer Methoden und dem Pontrya- gin’schen Maximumsprinzip hergeleitet. Als ein zentrales Resultat dieses Teils der Arbeit wurden verschiedene Parameterregime für das balancierte Ausgangsmodell identifiziert, in denen die formale Asymptotik für den LQ-Regler mit den Riccati-Gleichungen für die reduzierten Modelle aus dem ersten Teil der Arbeit übereinstimmt. Die formalen Argumente wurden mit numerischen Experimenten untermauert und zeigen, dass die reduzierten Modelle sehr gute Approximationen der optimalen Steuerung des vollen Systems liefern können. S ̈amtliche theoretischen Resultate in der Arbeit wurden durch geeignete numerische Testbeispiele validiert.
