Monotonicity for some geometric flows

Abstract

The aim of this thesis is to establish local monotonicity formulæ for solutions to Dirichlet-type flows, such as the harmonic map and Yang-Mills heat flows, and the mean curvature flow. In particular, for the former, we allow as domain an evolving Riemannian manifold and for the latter, we allow as target an evolving Riemannian manifold. The approach taken consists in first deriving divergence identities involving an appropriate evolving quantity, then integrating over superlevel sets (heat balls) of suitable kernels. A theory of heat balls analogous to that of Ecker, Knopf, Ni and Topping is developed in order to accomplish this. The main result is then that, provided certain integrals are finite, local monotonicity formulæ hold in this general setting, thus generalizing results for the mean curvature and harmonic map heat flows and establishing a new local monotonicity formula for solutions to the Yang-Mills flow.

Das Ziel dieser Dissertation ist das Beweisen lokaler Monotonieformeln für Lösungen Dirichlet-artiger Flüsse, wie des harmonischen Abbildungs- und Yang- Mills-Flusses, und des mittleren Krümmungsflusses. Für die Ersteren darf die Metrik des Definitionsbereiches und für den Letzteren die der Zielmannigfaltigkeit eine Evolutionsgleichung lösen. Die gewählte Methode besteht darin, daß einige eine geeignete entwickelnde Größe umfassende Divergenzidentitäten erst hergeleitet werden, und daß diese dann über Superniveaumengen zulässiger Kerne integriert werden, zu welchem Zwecke eine zu der von Ecker, Knopf, Ni und Topping analoge Theorie der Wärmekugeln entwickelt wird. Das Hauptergebnis ist dann, daß lokale Monotonieformeln auch in diesem verallgemeinerten Rahmen gelten, solange gewisse Integrale endlich sind. Dieses Resultat verallgemeinert deshalb vorherige Ergebnisse für den mittleren Krümmungs- und harmonischen Abbildungsfluß, und führt eine neue lokale Monotonieformel für Lösungen des Yang-Mills-Flusses ein.