Modeling social systems and studying their dynamical behavior plays an important role in many fields of research. Agent-based modeling provides a high degree of detail into artificial societies by describing the model from the perspective of the agents. The interactions of agents, often characterized by simple rules, lead to complex, time-evolving patterns. Their understanding is of great importance, e.g., for predicting and influencing epidemics. Analysis and simulation, however, often becomes prohibitively time-consuming when the number of agents or the time scale of interest is large. Therefore, this thesis is devoted to learn significantly reduced models of large-scale agent-based systems from simulation data. We show how data-driven methods based on transfer operators can be used to find reduced models represented by ordinary or stochastic differential equations that describe the dynamical behavior of larger groups or entire populations and thus enable the analysis and prediction of agent-based systems. To this end, we first present an extension of EDMD (extended dynamic mode decomposition) called gEDMD to approximate the Koopman generator from data. This method can be used to compute eigenfunctions, eigenvalues, and modes of the generator, as well as for system identification and model reduction of both deterministic and non-deterministic dynamical systems. Secondly, we analyze the long-term behavior of certain agent-based models and their pathwise approximations by stochastic differential equations for large numbers of agents using transfer operators. We show that, under certain conditions, the transfer operator approach connects the pathwise approximations on finite time scales with methods for describing the behavior on possibly exponentially long time scales. As a consequence, we can use the finite-time, pathwise approximations to characterize metastable behavior on long time scales using transfer operators. This can significantly reduce the computational cost. The third part addresses the data-driven model reduction since in many cases no analytical limit models are known or existent. We show how the Koopman operator theory can be used to infer the governing equations of agent-based systems directly from simulation data. Using benchmark problems, we demonstrate that for sufficiently large population sizes the data-driven models agree well with analytical limit equations and, moreover, that the reduced models allow predictions even in cases far from the limit or when no limit equations are known. Lastly, we demonstrate the potential of the presented approach. We present an ansatz for the multi-objective optimization of agent-based systems with the help of data-driven surrogate models based on the Koopman generator. In particular, when limit models are unknown or non-existent, this approach makes multi-objective optimization problems solvable that would otherwise be computationally infeasible due to very expensive objective functions.
Die Modellierung sozialer Systeme und die Untersuchung ihres dynamischen Verhaltens spielt in vielen Forschungsbereichen eine wichtige Rolle. Agentenbasierte Modellierung ermöglicht einen hohen Detaillierungsgrad künstlicher Gesellschaften, indem das Modell aus der Perspektive der Agenten beschrieben wird. Die Interaktionen der Agenten, die oft durch einfache Regeln vorgegeben sind, führen zu komplexen, sich zeitlich entwickelnden Mustern, deren Verständnis von großer Bedeutung zum Beispiel für die Vorhersage und Beeinflussung von Epidemien ist. Analyse und Simulation werden jedoch oft unverhältnismäßig zeitaufwendig, wenn die Anzahl der Agenten oder die betrachtete Zeitskala groß ist. Diese Arbeit widmet sich daher dem Erlernen deutlich reduzierter Modelle großer agentenbasierter Systeme aus Simulationsdaten. Es wird gezeigt, wie auf Transferoperatoren basierende, datengetriebene Methoden verwendet werden können, um reduzierte, durch gewöhnliche oder stochastische Differentialgleichungen darstellbare Modelle zu finden, die das dynamische Verhalten größerer Gruppen oder ganzer Populationen beschreiben und somit die Analyse und Vorhersage agentenbasierter Systeme ermöglichen. Dazu wird zunächst eine Erweiterung von EDMD vorgestellt, um den Koopman Generator anhand von Daten zu approximieren. Die gEDMD genannte Methode kann zur Berechnung von Eigenfunktionen, Eigenwerten und Moden des Generators sowie zur Systemidentifikation und Modellreduktion sowohl deterministischer als auch nichtdeterministischer dynamischer Systeme verwendet werden. Im nachfolgenden Kapitel wird das Langzeitverhalten bestimmter agentenbasierter Modelle und deren pfadweisen Approximationen durch stochastische Differentialgleichungen für große Agentenanzahlen mittels Transferoperatoren analysiert. Es wird gezeigt, dass der Transferoperatoransatz unter bestimmten Bedingungen die pfadweisen Approximationen auf endlichen Zeitskalen mit Methoden zur Beschreibung des Verhaltens auf möglicherweise exponentiell langen Zeitskalen verbindet. Dies bedeutet, dass die pfadweisen Näherungen auf endlicher Zeitskala genutzt werden können, um das metastabile Verhalten auf langen Zeitskalen mit Hilfe von Transferoperatoren zu charakterisieren. Dies kann die Rechenkosten erheblich reduzieren. Der dritte Teil befasst sich mit der datengesteuerten Modellreduktion, da in vielen Fällen keine analytischen Grenzmodelle bekannt oder vorhanden sind. Es wird demonstriert, wie die Koopman-Operatortheorie verwendet werden kann, um die maßgeblichen Gleichungen agentenbasierter Systeme direkt aus Simulationsdaten herzuleiten. Mittels Testprobleme wird gezeigt, dass die datengetriebenen Modelle für ausreichend große Populationen gut mit analytischen Grenzwertgleichungen übereinstimmen und dass die reduzierten Modelle sogar in Fällen, die weit vom Grenzwert entfernt sind oder wenn keine Grenzwertgleichungen bekannt sind, Vorhersagen ermöglichen. Zum Schluss wird ein Ansatz zur Mehrzieloptimierung agentenbasierter Systeme mit Hilfe von datengetriebenen, auf dem Koopman Generator basierenden Ersatzmodellen präsentiert und damit das Potenzial der vorgestellten Methode aufgezeigt. Insbesondere bei unbekannten oder inexistenten Grenzmodellen macht dieser Ansatz Mehrzieloptimierungsprobleme lösbar, die andernfalls aufgrund sehr teurer Zielfunktionen rechnerisch undurchführbar wären.
