Discrete Differential Operators on Polyhedral Surfaces - Convergence and Approximation

Abstract

This thesis studies discrete differential-geometric analogues of the smooth theory of two-dimensional Riemannian manifolds in the framework of discrete differential geometry (DDG). In particular, the following objects are considered on polyhedral surfaces: Laplace-Beltrami operator, gradient, divergence, curl, solutions to the Dirichlet problem, mean curvature vector, geodesics, complex structure, de Rham cohomology, Hodge decomposition, Hodge star operator, and spectrum of the Laplace operator. The discretization of these objects is primarily built upon the discretization of function spaces on polyhedra in the sense of linear finite elements. Accordingly, the first part of this thesis discusses weak derivatives and Sobolev spaces on polyhedral surfaces from which discrete differential complexes and their cohomological properties are derived. The second part deals with convergence and approximation properties of discrete differential operators. In particular, it is shown that the aforementioned (discrete) objects converge to their smooth counterparts if the points and normals of a sequence of polyhedral surfaces embedded into Euclidean 3-space converge to those of a smooth limit surface. A particular emphasis is put on the appropriate norms in which convergence can be expected. Several applications, specifically to computer graphics, are mentioned along the way.

Diese Arbeit beschäftigt sich mit diskreten Analoga zur glatten Theorie zweidimensionaler Riemannscher Mannigfaltigkeiten im Sinne der diskreten Differentialgeometrie (DDG). Insbesondere werden folgende Objekte auf polyedrischen Flächen untersucht: Laplace-Beltrami Operator, Gradient, Divergenz, Rotation, Lösungen des Dirichlet Problems, mittlerer Krümmungsvektor, Geodäten, komplexe Struktur, de Rham Kohomologie, Hodge Zerlegung, Hodge Stern Operator und Spektrum des Laplace Operators. Der Diskretisierung dieser Objekte zu Grunde liegt dabei primär die Diskretisierung von Funktionenräumen auf polyedrischen Flächen im Sinne linearer finiter Elemente. Im ersten Teil der Arbeit werden hierzu zunächst schwache Ableitungen und Sobolevräume auf polyedrischen Flächen diskutiert. Darauf aufbauend werden diskrete Differentialkomplexe studiert und deren kohomologischen Eigenschaften hergeleitet. Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich mit Konvergenz- und Approximationseigenschaften diskreter Differentialoperatoren. Insbesondere wird für eingebettete polyedrische Flächen gezeigt, dass punktweise Konvergenz und Konvergenz der Flächennormalen hinreichend dafür ist, dass sämtliche der obigen (diskreten) Objekte zu den entsprechenden kontinuierlichen konvergieren. Ein besonderes Augenmerk wird hierbei auf die erforderlichen normierten Räume gelegt, in denen Konvergenz zu erwartet ist. Auf Anwendungen, speziell aus der Computergrafik, wird fortlaufend verwiesen.