Spiral Waves in Circular and Spherical Geometries: The Ginzburg-Landau Paradigm

Abstract

In this thesis we establish a functional approach to prove the existence of Ginzburg-Landau spiral waves. Based on systematic considerations, we justify the popular m-armed spiral Ansatz by equivariance and the variational structure of the real Ginzburg-Landau equation. This spiral Ansatz transforms the Ginzburg-Landau equation into an elliptic equation. To solve this elliptic equation by our functional approach, we adopt global bifurcation analysis and the result of existence is essentially a consequence of compactness. The advantage of our functional approach is threefold. First, it avoids smart, but tricky, estimates used in the shooting method. Second, it works for more general underlying spatial domains, not only in the circular geometry, but also in the spherical geometry. Third, it permits the occurrence of a mixed diffusion process when a complex diffusion parameter is introduced. Thus our result of existence of rigidly-rotating spiral waves greatly generalizes those in the literature. Moreover, we prove the existence of two new patterns: frozen spirals in circular and spherical geometries, and 2-tip spirals in the spherical geometry.

In dieser Arbeit etablieren wir eine funktionalanalytische Methode, um die Existenz von Ginzburg-Landau Spiralwellen zu beweisen. Auf der Grundlage von systematischen Erwägungen rechtfertigen wir den beliebten m-armigen Spiralansatz mit Hilfe von Äquivarianz und der variationellen Struktur der reellen Ginzburg-Landau Gleichung. Dieser Spiralansatz verwandelt die Ginzburg-Landau-Gleichung in eine elliptische Gleichung. Um diese elliptische Gleichung mit unserer funktionalanalytischen Methode zu lösen, führen wir eine globale Bifurkationsanalyse durch, und das Ergebnis der Existenz ist im Wesentlichen eine Folge der Kompaktheit. Aus unserer funktionalanalytischen Methode ergeben sich drei Vorteile: Erstens vermeidet sie die raffinierten, aber heiklen Abschätzungen der shooting-Methode. Zweitens funktioniert sie für allgemeinere zugrunde liegende räumliche Bereiche, und dies nicht nur in der Kreisgeometrie, sondern auch in der sphärischen Geometrie. Drittens ermöglicht sie das Auftreten eines gemischten Diffusionsprozesses, wenn ein komplexer Diffusionsparameter eingeführt wird. In diesem Sinne ist unser Ergebnis eine große Verallgemeinerung der Existenzresultate in der Literatur. Insbesondere beweisen wir die Existenz von zwei neuen Mustern; den gefrorenen Spiralwellen in der Kreisgeometrie und der sphärischen Geometrie, sowie den 2-Spitzen Spiralen in der sphärischen Geometrie.