Toric Newton-Okounkov Functions, the Kingman Coalescent, and Fully Mixed Cells: A Polyhedral View

Abstract

The present dissertation is concerned with the study of problems from toric and numerical algebraic geometry, as well as mathematical population genetics from the perspective of discrete geometry. The introductory Chapter 1 contains a short summary of the results. Furthermore, we introduce the objects stemming from discrete geometry which play a central role in the following, and fix the corresponding notation.

Chapter 2 is devoted to the examination of Newton-Okounkov bodies and Newton-Okounkov functions. We consider the case of toric varieties. First, we give a combinatorial proof for the existence and uniqueness of Zariski decomposition on toric surfaces. Based on this, we construct an isomorphism between the polytope associated to a torus-invariant divisor and the Newton-Okounkov body of a non-toric flag. Subsequently, we give an explicit description of Newton-Okounkov functions in the completely toric case and an approach to determining functions coming from valuations in a general point. We formulate combinatorial criteria on the polytopes involved and prove that in these cases the function can be fully described using our approach. The developed techniques can be applied to prove the rationality of certain Seshadri constants. We explain the connection and show rationality as a dependency of a combinatorial condition. Furthermore, we construct a class of examples to which existing criteria do not apply, and show rationality in these cases.

In Chapter 3, we deal with models from mathematical population genetics and their description in polyhedral language. First, we define different spaces of phylogenetic trees and then define the Kingman n-coalescent process in terms of a suitable density. Based on this, we define a forgetful map for varying sample sizes and show how the corresponding density can be derived from it. Finally, we consider the multispecies coalescent process and describe it in polyhedral language. In particular, we show how the conditional probability of the occurrence of a certain gene tree, given a species tree, can be described in terms of a density on our space of phylogenetic trees.

The focus of Chapter 4 is the investigation of the tropical version of Smale's famous 17th problem. The original question, whether it is possible to find a common solution of n given polynomials in n unknowns in expected polynomial time, translates into a problem from discrete geometry: finding a fully mixed cell in a triangulation of a Cayley polytope induced by the randomized input data. We explain this version of the problem and, based on it, analyze an approach to solving it by means of a homotopy continuation. In particular, we give an example that could lead to a lower bound in the input data that is exponential.

Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit der Untersuchung von Problemstellungen aus der torischen und numerischen algebraischen Geometrie, sowie der mathematischen Populationsgenetik aus dem Blickwinkel der diskreten Geometrie.

Das einleitende Kapitel 1 enthält eine kurze Zusammenfassung der Ergebnisse. Des weiteren führen wir die Objekte aus der diskreten Geometrie ein, die im Folgenden eine zentrale Rolle spielen und fixieren die entsprechende Notation.

Kapitel 2 widmet sich der Untersuchung von Newton-Okounkov-Körpern und Newton-Okounkov-Funktionen. Wir betrachten den Fall torischer Varietäten. Zunächst geben wir einen kombinatorischen Beweis für die Existenz und Eindeutigkeit der Zariski-Zerlegung auf torischen Flächen. Darauf aufbauend konstruieren wir einen Isomorphismus zwischen dem zu einem torusinvarianten Divisor gehörigen Polytop und dem Newton-Okounkov-Körper einer nichttorischen Fahne. Anschließend geben wir eine explizite Beschreibung von Newton-Okounkov-Funktionen im vollständig torischen Fall und einen Ansatz für die Bestimmung von Funktionen, die von Bewertungen im allgemeinen Punkt kommen. Wir formulieren kombinatorische Kriterien an die involvierten Polytope und beweisen, dass sich in diesen Fällen die Funktion mithilfe unseres Ansatzes vollständig beschreiben lässt. Die entwickelten Techniken lassen sich anwenden, um die Rationalität gewisser Seshadri-Konstanten zu beweisen. Wir erläutern den Zusammenhang und zeigen Rationalität in Abhängigkeit von einer kombinatorischen Bedingung. Darüber hinaus konstruieren wir eine Klasse von Beispielen, für die bisherige Kriterien nicht greifen und zeigen Rationalität in diesen Fällen.

Im Rahmen von Kapitel 3 beschäftigen wir uns mit Modellen aus der mathematischen Populationsgenetik und ihrer Beschreibung in polyedrischer Sprache. Zunächst definieren wir verschiedene Räume von phylogenetischen Bäumen und definieren darauf den Kingman-n-Koaleszent-Prozess in Form einer entsprechenden Dichte. Darauf aufbauend definieren wir eine Vergissabbildung für variierende Stichprobengröße und zeigen, wie sich die entsprechende Dichte davon ableiten lässt. Wir betrachten schließlich den Multispezies-Koaleszent-Prozess und beschreiben auch diesen in polyedrischer Sprache. Insbesondere beweisen wir, wie sich die bedingte Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines bestimmten Genbaumes, gegeben ein Speziesbaum, in Form einer Dichte auf unserem Raum von phylogenetischen Bäumen beschreiben lässt.

Im Fokus von Kapitel 4 steht die Untersuchung der tropischen Version von Smales berühmtem 17. Problem. Die ursprüngliche Fragestellung, ob es möglich ist, zu n gegebenen Polynomen in n Unbekannten in erwartet polynomieller Zeit eine gemeinsame Lösung zu finden, übersetzt sich in ein Problem aus der diskreten Geometrie: das Finden einer vollständig gemischten Zelle in einer, von den randomisierten Inputdaten induzierten, Triangulierung eines Cayleypolytops. Wir erläutern diese Variante der Fragestellung und untersuchen darauf aufbauend einen Ansatz zur Lösung mittels eines Homotopieverfahrens. Insbesondere geben wir ein Beispiel, das zu einer unteren Schranke führen kann, die exponentiell in den Eingabedaten ist.