In dieser Arbeit wird die Struktur des QCD-Vakuums und die Natur des chiralen Phasenübergangs mit Hilfe von Overlap-Fermionen untersucht. Da Overlap- Fermionen exakte chirale Symmetrie und das Atiyah-Singer-Index-Theorem auf dem Gitter implementieren, sind sie besonders dazu geeignet, chirale und topologische Aspekte des QCD-Vakuums zu erforschen. Ein variabler Cutoff hinsichtlich der Eigenwerte des Overlap-Operators erlaubt eine Separation der infraroten nichtperturbativen Freiheitsgrade auf der Skala des Lambda- Parameters der QCD von ultravioletten Fluktuationen auf der Skala des Gitter- Cutoffs. Der Schwerpunkt der Arbeit liegt in der Untersuchung der durch die niedrig liegenden Eigenmoden des Overlap-Operators aufgezeigten infraroten langreichweitigen Aspekte des Vakuums. Zur Charakterisierung der Struktur und Dimension einer beliebigen in die vierdimensionale Raumzeit eingebetteten Dichte wurden diverse Analysewerkzeuge entwickelt. Diese werden sowohl bei niedriger Temperatur (T=0) in der Valenzquark-Approximation der QCD als auch in der Umgebung des Hochtemperatur-Phasenübergangs der vollen QCD zur Beschreibung der Struktur der Moden und der topologischen Dichte, sowie zur Analyse der lokalen Selbstdualität der zugrunde liegenden Eichfelder angewendet. Der große numerische Aufwand der Arbeit liegt in der Berechnung der vollen topologischen Ladungsdichte und der niedrigsten O(100) Eigenmoden des Overlap-Operators, anhand derer diverse topologische Observable extrahiert werden.
In this thesis we explore the structure of the QCD vacuum and the nature of the chiral phase transition with the aid of overlap fermions. Since overlap fermions implement exact chiral symmetry and the Atiyah-Singer index theorem on the lattice, they are particularly well suited for investigations of the chiral and topological aspects of the QCD vacuum. A variable cut-off with respect to the eigenmodes of the overlap Dirac operator allows a separation of the infrared nonperturbative degrees of freedom on the scale of the Lambda parameter of QCD from ultraviolet fluctuations observable on the scale of the lattice-cutoff. The primary goal of the thesis is to perform an investigation of the infrared, long ranged aspects of the vacuum which are exposed by the low-lying modes of the overlap Dirac operator. We have developed various tools which allow us to characterise the structure and dimension of any density embedded in the 4-dimensional space-time. By applying these tools both at low temperature (T=0) to quenched QCD and in the vicinity of the high temperature phase transition of full QCD, we are able to describe the structure of the modes and of the topological charge density and to analyse the local selfduality of the underlying gauge fields. The main numerical effort of the thesis is the computation of the full topological charge density and of the lowest O(100) eigenmodes of the overlap operator, which are used to extract various topological observables.
