According to one of the fundamental axioms of quantum mechanics, unitary operators rule the evolution of any quantum system; it is thus of prominent importance to investigate the corresponding group and discover its properties. Random processes over the unitary group have indeed a wide range of applications in the context of quantum information; in particular, they are involved in the construction of peculiar distributions called unitary designs which mimic the uniform Haar measure by matching its moments and are thus deeply connected to the description of phenomena such as quantum tomography, equilibration, thermalization, encryption and scrambling. Previous approaches have shown that unitary designs are efficiently approximated by random quantum circuits with local unitary operators. Moreover, these circuits are used to characterize the precision of experimental implementations of unitary gates via randomized benchmarking protocols and to rapidly decouple a system from the environment. The main novel contribution of this work is to extend these mixing properties to a continuous-time framework, namely, Brownian motion over the unitary group induced by stochastic local Hamiltonians. In order to achieve these new results, on the one hand we move to a representation theoretic formulation and make use of its tools to establish the gap of local generators linked to the moments of the distribution induced by the diffusion process; from this we then derive an expression for the length of time it takes to ensure convergence toward the moments of the Haar measure. On the other hand we project the stochastic evolution onto a random walk on Pauli matrices and tie this description to the analogous one for random quantum circuits to achieve decoupling in a run time scaling almost linearly with respect to the system size. In addition to providing a unifying framework for random processes over the unitary group, we hence aim at presenting new mathematical results and techniques for quantum information. We furthermore discuss applications to black holes dynamics in the perspective of the information paradox. As an additional novel result not related to Brownian motion, we propose a randomized benchmarking protocol exploiting the symmetry of the gate whose accuracy has to be estimated, in order to overcome current shortcomings afflicting the known schemes. We again rely on representation theory to reduce the computational effort and the amount of employed quantum resources.
Nach den Axiomen der Quantenmechanik wird die Zeitentwicklung quanten-mechanischer Systeme durch unitäre Operatoren beschrieben. Aus diesem Grund ist das Studium und Verständnis der entsprechenden Gruppe von großem Interesse. Ein Teilbereich der Forschung an dieser Gruppe mit besonders breitem Anwendungsgebiet in der Quanteninformationstheorie sind stochastische Zufallsprozesse über die unitäre Gruppe. Hier spielen sogenannte unitäre Designs eine zentrale Rolle. Dies sind besondere Dichteverteilungen, die die Momente des uniformen Haar-Maßes reproduzieren, und somit eng verknüpft sind mit Konzepten wie Quanten-Tomographie, Äquilibrierung, Thermalisierung, Verschlüsselung und Scrambling. Die bisherige Forschung konnte zeigen, dass unitäre Designs effizient angenähert werden können durch randomisierte Quanten-Schaltkreise mit lokalen unitären Gattern. Mithilfe von diesen Schaltkreisen lassen sich sowohl die Präzision experimenteller Implementierungen unitärer Gatter anhand von randomisierten Benchmarking-Protokollen auswerten, als auch Systeme die äußerst schnell von ihrer Umfeld entkoppeln. Der hauptsächliche Beitrag dieser Arbeit ist die Entwicklung eines Formalismus, mit dem die oben beschriebenen Ergebnisse auf kontinuierliche Zeitentwicklungen angewendet werden können, das heisst, eine Untersuchung der Brown'sche Bewegung über die unitäre Gruppe. Um dies zu erreichen, entwickeln wir zum einen eine darstellungstheoretische Formulierung unitärer Designs und nutzen die daraus resultierenden Werkzeuge um einen Ausdruck für den Abstand zwischen lokalen Generatoren zu errechnen, die zu den verschiedenen Momenten einer Verteilung bei einem Diffusionsprozess in Zusammenhang stehen. Hieraus lässt sich weiter berechnen, in welchen Zeitskalen die Konvergenz dieser Momente zu denen des Haar-Maßes garantiert werden kann. Zum anderen beschreiben wir die stochastische Zeitentwicklung als eine Projektion auf einen Random Walk über Pauli-Matrizen und verknüpfen diese Formulierung des Problems mit randomisierten Quanten-Schaltkreisen. Hierdurch lässt sich eine Entkopplung von System und Umfeld erreichen, die nahezu linear in der Systemgröße skaliert. Zusätzlich zu der Entwicklung eines einheitlichen Formalismus für Zufallsprozess über die unitäre Gruppe präsentiert diese Arbeit also neue mathematische Ergebnisse und Techniken im Bereich der Quanteninformationtheorie. Nicht zuletzt werden auch Anwendungen dieser Ergebnisse im Bereich der Dynamik schwarzer Löcher diskutiert, nämlich mit Hinblick auf das Informationsparadoxon.
Ein weiteres, neues Ergebnis dieser Arbeit, unabhängig von Brown'scher Bewegung, ist ein randomisiertes Benchmarking-Protokoll, welches existierende Protokolle zum Schätzen der Genauigkeit von Gattern verbessert, indem es Symmetrien in diesen Gattern ausnutzt. Auch dieser Fortschritt basiert auf Darstellungstheorie und nutzt diese, um den rechnerischen Aufwand und die Menge verwendeter Quanten-Ressourcen zu reduzieren.
