Slow convergence of graphs under mean curvature flow

Abstract

In this thesis we study the mean curvature flow of entire graphs in Euclidean space. From the work of Ecker and Huisken, we know that given some initial growth condition at infinity, such graphs become self-similar under the evolution and the convergence is exponentially fast in time. In this work, we propose an alternative condition at infinity, motivated by looking at the heat equation, and show that under mean curvature flow such a growth condition is preserved for the height and gradient of the graph. For the curvature we propose an analogous result to that of Ecker and Huisken, by proving a spatial decay estimate with a slightly stronger condition. Our main result then says that under mean curvature flow and our condition, the graph also becomes self similar, but slower than in the exponential case.

In dieser Doktorarbeit wird der Mittlere Krümmungsfluss von ganzen Graphen im euklidischen Raum betrachtet. Ecker und Huisken zeigen, dass unter gewissen Wachstumsbedingungen im Unendlichen solche Graphen unter dem Fluss selbst ähnlich werden, wobei die Konvergenz in der Zeit exponentiell schnell ist. Durch die Wärmeleitungsgleichung motiviert schlagen wir in dieser Arbeit eine alternative Bedingung im Unendlichen vor und zeigen, dass solch eine Wachstumsbedingung für die Höhe und den Gradienten unter dem mittleren Krümmungsfluss erhalten bleibt. Unser Hauptresultat besagt, dass unter der alternativen Bedingung der Graph einer Lösung des mittleren Krümmungsflusses ebenfalls selbstähnlich wird, allerdings mit einer in der Zeit langsameren Konvergenzrate.