We show, finitely generated rational VIC(Q)-modules and SI(Q)-modules are uniformly representation stable and all their submodules are finitely generated. We use this to prove two conjectures of Church and Farb, which state that the quotients of the lower central series of the Torelli subgroups of the automorphism groups of the free groups and of the mapping class groups of compact, oriented surfaces with one boundary component are uniformly representation stable as sequences of representations of the general linear groups and the symplectic groups, respectively. Furthermore we prove an analogous statement for their Johnson filtrations.
Wir zeigen, dass endlich erzeugte rationale VIC(Q)- und SI(Q)-Moduln uniform darstellungsstabil und all ihre Untermoduln endlich erzeugt sind. Wir benutzen diese Aussagen, um zwei Vermutungen von Church und Farb zu zeigen: Die Quotienten der absteigenden Zentralreihe der Torelliuntergruppen von den Automorphismengruppen der freien Gruppen und von den Abbildungsklassengruppen kompakter, orientierter Flächen, die eine Randkomponente haben, sind uniform darstellungsstabil als Folgen von Darstellungen der allgemeinen linearen Gruppen bzw. symplektischen Gruppen. Außerdem beweisen wir eine analoge Behauptung für ihre Johnsonfiltrierungen.
