After its first isolation by Geim and Novoselov in 2004, graphene has grown quickly into an independent subfield of contemporary condensed matter physics, counting thousands of publications. This material has attracted so much attention not only because it is truly two-dimensional -- a feature long thought to be impossible to be realized in nature -- but also because it is the prime representative of a new class of condensed matter systems, the Dirac materials, whose electronic spectrum disperses linearly around isolated points in the Brillouin zone. An outstanding consequence of this linear energy-momentum dispersion is the collapse of the Fermi surface to isolated points at charge neutrality, accompanied by a vanishing single-particle density of states. While this feature of the noninteracting model is what separates graphene from most other, more conventional condensed matter systems, giving rise to many of its astounding physical properties, it leads to severe computational complications when extending the model to contain two-body interactions and/or disorder. In this thesis we consider both extensions separately.
After rigorously deriving the low-energy quantum field theory from a tight-binding model and establishing the one-particle irreducible (1PI) vertex functions as the fundamental building blocks of correlation functions, we construct a nonperturbative formalism for the calculation of these vertex functions using the well-established functional renormalization group (fRG). By combining the fRG with the Keldysh formalism, accounting for possible external electromagnetic fields and nontrivial initial correlations, this framework is capable of handling thermal equilibrium and true nonequilibrium alike. To circumvent some of the technical problems of the standard fRG formalism when treating fermionic systems at finite density, we also explore a variant of the fRG, where the chemical potential is interpreted as a flow parameter. We obtain hierarchical sets of flow equations, which describe the change of the 1PI vertex functions upon varying an artificial cutoff scale or the chemical potential, respectively. These nonperturbative formalisms have been used to calculate the renormalization of the Fermi velocity and the static dielectric function at finite temperature and density in the strong coupling regime as an explicit demonstration of their capabilities.
Since the Keldysh fRG is an exact formulation of quantum field theory, in particular when external magnetic fields are present, it should be possible to describe the fractional quantum Hall effect in this framework. However, the typical truncation schemes that are currently available to approximately solve the fRG flow equation fail to account for the nontrivial correlation effects necessary to access the fractional quantum Hall regime. To circumvent this problem we consider a modified field theory, where these correlations are implemented ``by hand'' via a Chern-Simons gauge field, coupling to the fermions in addition to the Coulomb interaction term. This modified field theory is analyzed in a stationary phase approximation including Gaussian fluctuations. The electromagnetic response tensor is calculated in the random phase approximation, yielding the Hall conductivities.
In the second part of this thesis we consider disordered Dirac fermions in the absence of two-particle interactions. After sketching how the most general disorder potential for Dirac fermions arises from a tight-binding model, we first consider an explicit physical scenario, a disordered graphene pn junction in the presence of a quantizing magnetic field perpendicular to the graphene sheet. We derive an effective one-dimensional theory for the chiral states that propagate along the junction interface and calculate the full conductance distribution in the crossover between the clean and the strong-disorder limit, via an exact solution of a Fokker-Planck equation. Lastly, we develop a nonperturbative approach to calculate the disorder induced self-energy that is based on exact Schwinger-Dyson equations and Ward identities, not only for graphene, but also for other paradigmatic semimetals with a nodal point dispersion.
Seit der ersten Isolierung durch Geim und Novoselv im Jahr 2004 hat sich Graphene schnell in ein eigenständiges Forschungsfeld innerhalb der Physik der kondensierten Materie entwickelt, zu dem bereits Tausende von Publikationen zählen. Dieses Material hat große Aufmerksamkeit auf sich gezogen, nicht nur weil es echt zweidimensional ist -- eine Besonderheit, die lange als unmöglich galt -- aber auch weil es der erste Stellvertreter einer neuen Klasse von Materialien ist, deren elektronisches Spektrum linear um isolierte Punkte in der Brillouin Zone dispersiert, den Dirac-Materialien. Eine ungewöhnliche Folge der linearen Energie-Impuls Dispersion ist der Kollaps der Fermi-Fläche auf isolierte Punkte im ladungsneutralen Fall, begleitet von einer verschwindenden Zustandsdichte. Während es diese Eigenschaft des nichtwechselwirkenden Modells ist, welche Graphen von anderen, konventionellen kondensierte Materie Systemen unterscheidet, so führt sie zu schwerwiegenden Komplikationen bei der Berechnung physikalischer Observablen, sollte das Modell um Zweiteilchen-Wechselwirkungen und/oder Unordnung erweitert werden. In dieser Dissertation betrachten wir beide Fälle separat.
Nachdem wir die Niedrigenergie-Quantenfeldtheorie aus einem Tight-Binding-Modell abgeleitet und die Einteilchen-irreduziblen (1PI) Vertex-Funktionen als fundamentale Bausteine der Korrelationsfunktionen etabliert haben, konstruieren wir einen nicht-perturbativen Formalismus für die Berechnung eben dieser Vertex-Funktionen auf Basis der funktionalen Renormierungsgruppe (fRG). In Kombination mit dem Keldysh-Formalismus, erlaubt es dieser Formalismus sowohl Gleichgewichts- als auch Nichtgleichgewichtsprobleme zu behandeln. Um einige technische Probleme der fRG in ihrer Standardformulierung zu umgehen, die bei der Behandlung fermionischer Systeme bei endlicher Dichte auftreten, untersuchen wir auch eine Variation der fRG, bei der das chemische Potential als Flussparameter interpretiert wird. Wir erhalten hierarchische Gleichungssysteme, welche die Änderung der 1PI-Vertex-Funktionen unter Variation einer künstlichen Cutoff Skale beziehungsweise des chemischen Potentials beschreiben. Diese nicht-perturbativen Formalismen werden zur Berechnung der Renormierung der Fermigeschwindigkeit und der statischen dielektrischen Funktion bei endlicher Temperatur und Dichte im Regime starker Kopplung verwendet.
Da es sich bei der Keldysh-fRG um eine exakte Formulierung von Quantenfeldtheorie handelt, sollte es möglich sein mit ihrer Hilfe den fraktionierten Quanten-Hall-Effekt zu beschreiben. Mit den derzeitig verfügbaren Trunkierungsschemata gelingt es jedoch nicht die notwendigen nicht-trivialen Korrelationen mit einzubeziehen, um diesen Effekt zu beschreiben. Um dieses Problem zu umgehen betrachten wir eine modifizierte Feldtheorie, bei der diese Korrelationen ``von Hand'' durch ein Chern-Simons Feld implementiert werden, welches zusätzlich zur Coulomb Wechselwirkung an die Fermionen koppelt. Diese modifizierte Feldtheorie wird in Sattelpunktsnäherung mit Gauß'schen Fluktuationen analysiert. Es werden der elektromagnetische Response-Tensor, sowie die Hall Leitfähigkeiten berechnet.
Im zweiten Teil dieser Dissertation betrachten wir ungeordnete Dirac Fermionen in Abwesenheit von Zweiteilchen-Wechselwirkungen. Nachdem wir skizziert haben, wie das allgemeinste Unordnungspotential für Dirac Fermionen aus dem Tight-Binding-Modell hervorgeht, betrachten wir einen ungeordneten pn-Übergang in Anwesenheit eines magnetischen Feldes. Wir leiten eine effektive eindimensionale Theorie für die chiralen Zustände ab, welche entlang des Übergangs propagieren, und berechnen die volle Verteilung des Leitwerts mittels exakter Lösung einer Fokker-Planck-Gleichung. Zum Schluss entwickeln wir einen nicht-perturbativen Zugang um die unordnungsinduzierte Selbstenergie in Graphene und anderen paradigmatischen Semimetallen zu berechnen, welcher auf exakten Schwinger-Dyson-Gleichungen und Ward-Identitäten beruht.
