The Einstein constraint equations describe the space of initial data for the evolution equations, dictating how space should curve within spacetime. Under certain assumptions, the constraints reduce to a scalar quasilinear parabolic equation on the sphere, and nonlinearity being the prescribed scalar curvature of space. We focus on self-similar solutions of Schwarzschild type, which describe the space of initial data of certain black holes, for example. The first main result gives a detailed study of the axially symmetric solutions, since the domain is now one dimensional and nodal properties can be used to describe certain asymptotics of the rescaled self-similar solutions. Such asymptotics describe the possible metrics arising at an event horizon of a black hole, depending on the metric inside the horizon. Those are described by Sturm attractors. In particular, we compute an example for a prescribed scalar curvature. The second main result state a symmetrization property of certain metrics in the event horizon, namely, how the symmetry of the spherical domain can influence the symmetry of solutions.
Die Einsteinschen Zwangsgleichungen charakterisieren die Menge der Anfangsdaten der Einsteinschen Evolutionsgleichungen. Diese beschreiben, wie sich der Raum innerhalb der Raumzeit krümmt. Unter gewissen Annahmen reduzieren sich die Zwangsbedingungen auf eine einzige skalare, quasilineare parabolische Gleichung auf der Sphäre und einer, durch die vorgeschriebene skalare Krümmung des Raumes, gegebenen Nichtlinearität. In dieser Doktorarbeit konzentrieren wir uns auf selbstähnliche Lösungen von Schwarzschild, welche zum Beispiel die Anfangsdaten von Schwarzen Löcher beschreiben. Das erste Hauptresultat ist eine detaillierte Untersuchung von axialsymmetrischen Lösungen, da sich diese Lösungen durch nodale Eigenschaften analysieren lassen, zum Beispiel um bestimmte Asymptotiken der reskalierten, selbstähnlichen Lösungen zu erhalten. Die Asymptotiken korrespondieren zu moglichen Metriken, die an einem Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs, abhängig von der Metrik innerhalb des Horizonts, entstehen. Dabei können die möglichen Metriken durch Sturm-Attraktoren charakterisiert werden. Wir zeigen dies insbesondere an einem Bespiel einer bestimmten Nichtlinearität. Das zweite Hauptergebnis ist eine Symmetrierungseigenschaft von bestimmten Metriken im Ereignishorizont, also insbesondere wie die Symmetrie der Sphäre die Symmetrie der Lösungen beeinflusst.
