A model is derived that is able to predict the evolution of small-amplitude gravity waves in an atmosphere that changes with height.
In the first part, the multi-layer method is described, which bases on layering a steady atmosphere in several layers where the stratification is assumed to be constant. For this easier case, the Boussinesq equations can be solved explicitly via plane waves and the solutions are matched at the interfaces of the respective layers. We give a proof of the convergence of this procedure and discuss the order of convergence. The multi-layer method is used to find transmission coefficients, which describe the amount of wave energy that is transmitted through a layer of non-uniform stratification.
When including a height-dependent and non-constant background wind, the governing equations change. Most notably, the wave frequency is Doppler-shifted and an additional term occurs in the Taylor-Goldstein equation containing the second derivative of the background wind. This so-called curvature term is the subject of a scale analysis with the result that there can be realistic atmospheric configurations that influences gravity waves non-negligibly. The multi-layer method is adapted to account for changes in the background wind. The convergence is not affected and it still supplies transmission coefficients very fast and efficiently.
The next part deals with the evolution of wave packets. This is particularly challenging as their evolution is no longer described by an ordinary differential equation but a partial differential equation. A Fourier transform is used on the equation as well as a coordinate transformation to translate wave packet initial data to Fourier space. This brings the equation into a shape that permits a variant of the multi-layer method to be used to solve the equation. To obtain the wave packet evolution in physical space, inverse Fourier transform is performed on the solution. A big advantage is that this method has no time step restrictions. Therefore, a fast and efficient computation of the wave packet at any given point in time is possible, given the initial shape.
For both plane waves and wave packets, extensive numerical studies are carried out which emphasise the theoretical findings.
The last part of the work focuses on a scale analysis of waves propagating through the tropopause. The waves are divided into three regimes: short, similar and long wavelength compared to the tropopause depth. For short waves, a scaling is found that allows for a WKB approach. Leading-order solutions exist in this case, but in general, they are not explicitly representable. For the case of long waves, it is shown that the exact stratification profile in the tropopause region is not relevant for the leading order solution but only plays a role in first order corrections. The case of similar wave length is the hardest to deal with analytically, since there is no scale separation in this case. It is shown that, under an appropriate scaling, the solutions are described by the Taylor-Goldstein equation, which can only be solved explicitly in some special cases.
In der Arbeit wird ein Modell, welches in der Lage ist, die Evolution von Schwerewellen mit kleiner Amplitude in einer höhenveränderlchen Atmosphäre vorherzusagen, hergeleitet. Im ersten Teil wird die Mehrschichten-Methode, welche auf einer Unterteilung einer ruhigen Atmosphäre in mehrere Schichten mit konstanter Stratifizierung beruht, beschrieben. Für diesen einfachen Fall können explizite Lösungen für die Boussinesq-Gleichungen gefunden werden. Diese Lösungen sind ebene Wellen und werden an den Schnittstellen der jeweiligen Schichten zusammengefügt. Die Konvergenz des Vorgehens wird bewiesen und die Konvergenzordnung diskutiert. Die Mehrschichten-Methode wird benutzt um Transmissionskoeffizienten zu finden. Diese beschreiben, wie viel Wellenenergie über einen Bereich mit ungleichmäßiger Stratifizierung transportiert wird.
Wenn man einen höhenveränderlichen Wind berücksichtigt verändern sich die beschreibenden Gleichungen. Die Frequenz wird Doppler-verschoben und man erhält einen zusätzlichen Term, der die zweite Ableitung des Windes enthält. Dieser sogenannte Krümmungsterm wird mit Hilfe einer Skalenanalyse untersucht. Es wird gezeigt, dass es realistische atmosphärische Konfigurationen geben kann, bei denen Schwerewellen signifikant beeinflusst werden. Die Mehrschichtenmethode wird angepasst um Veränderungen im Hintergrundwind zu berücksichtigen. Die Konvergenz wird dadurch nicht beeinflusst und Transmissionskoeffizienten können berechnet werden.
Der nächste Teil behandelt die Evolution von Wellenpaketen. Eine besondere Schwierigkeit ergibt sich daraus, dass ihre Entwicklung nicht länger durch eine gewöhnliche Differentialgleichung, sondern eine partielle Differentialgleichung beschrieben wird. Durch eine Fouriertransformation der Gleichung sowie eine Koordinatentransformation, um die Anfangsdaten in den Fourierraum zu transferieren, wird die Gleichung in eine Form gebracht, die es möglich macht, eine Variante der Mehrschichtenmethode anzuwenden. Um die Wellenpaketevolution im physikalischen Raum zu erhalten muss diese Lösung mit der inversen Fouriertransformation behandelt werden. Ein großer Vorteil ist, dass man keine Restriktionen für Zeitschritte hat. Damit ist es möglich, das Wellenpaket zu jedem beliebigen Zeitpunkt zu berechnen, vorausgesetzt man hat die Anfangsdaten.
Die Ergebnisse werden in einer umfassenden numerischen Studie validiert.
Zum Schluss wird der Fokus auf eine Skalenanalyse von Wellen, die durch die Tropopause propagieren, gelegt. Es werden drei Bereiche unterschieden: kurze, ähnliche und lange Wellenlängen im Vergleich zur Tropopausendicke. Für kurze Wellen wird eine Skalierung gefunden, die einen WKB-Ansatz zulässt. In führender Ordnung existiert eine Lösung, aber sie kann im Allgemeinen nicht explizit dargestellt werden. Für lange Wellen wird gezeigt, dass die Stratifizierung der Tropopause in führender Ordnung irrelevant ist. Der Fall für ähnliche Wellenlängen ist der härteste für eine analytische Untersuchung, da hier keine Skalentrennung vorliegt. Es wird dargelegt, dass die Lösungen unter einer angemessenen Skalierung durch die Taylor-Goldstein Gleichung beschrieben werden, welche nur für einige Spezialfälle explizit gelöst werden kann.
