This work is on the Cauchy problem for wave maps coupled to Einstein’s equations of general relativity. Wave maps are maps from a Lorentzian manifold to a Riemannian manifold which are critical points of the wave map Lagrangian. Self-gravitating wave maps are those from an asymptotically flat Lorentzian manifold which satisfies Einstein’s equations with the wave map itself as the source field. The energy of the wave map La- grangian is invariant under scaling in 2+1 dimensions. Apart from a purely geometrical interest, the motivation for studying critical self-gravitating wave maps is that 3+1 Ein- stein vacuum equations on principal bundles with one dimensional Lie group can be reduced to Einstein wave map system in 2+1 dimensions. The intention of this work is to initiate a program of studying global regularity of critical self-gravitating wave maps to understand the global regularity of 3+1 Einstein vacuum equations. In this approach, the advantage is that one is working in the critical dimension for wave maps. During the last twenty years a rich variety of techniques have been developed to address the question of global regularity of critical wave maps on the Minkowski background. Any progress in addressing the global regularity of critical self-gravitating wave maps should be made by not only keeping these methods in view, but also by introducing new ideas and techniques to overcome the obstacles caused by the evolving geometry of the system. This work is a small step in that direction. The main result of this work is the proof that the energy of the Einstein-equivariant wave map system does not concentrate during the Cauchy evolution. A key ingredient in the proof is the use of the fact that geometric mass at infinity of the Einstein-equivariant wave map system is conserved during the evolution. However, this observation has some subtle local implications which have been used to estimate the energy locally. For instance, we construct a divergence- free vector field which gives monotonicity of energy in the past null cone of any point. In addition, this vector has also been used to prove that the energy does not concentrate away from the axis of the domain manifold. Later, estimating the divergence of a Morawetz vector on a truncated past null cone, we prove that the kinetic energy does not concentrate. Finally, assuming that the target manifold satisfies the Grillakis condition, we proceed to prove the non-concentration of energy for the critical Einstein-equivariant wave map system.
Diese Arbeit handelt von dem Cauchy Problem für Wave–Maps, welche mit den Einstein– Gleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie gekoppelt sind. Wave–Maps sind Abbil- dungen von einer Lorentz’schen Mannigfaltigkeit auf eine Riemann’sche Mannigfaltigkeit welche kritische Punkte eines Wave–Map Lagrangian sind. Selbst–gravitative Wave– Maps bilden von einer asymptotosch flachen Lorentz’schen Mannigfaltigkeit ab, welche die Einstein’schen Gleichungen erfüllen, die die Wave–Map als Quelle besitzen. Die Energie des Wave–Map Lagrangian ist invariant unter Skalierung in 2+1 Dimensionen. Abgesehen von dem rein geometrischen Interesse ist die Motivation für das Studium von kritischen selbst–gravitativen Wave–Maps, dass die 3+1 Vakuum Einstein Gleichungen auf dem Prinzipalbündel mit eindimensionaler Lie Gruppe auf das Einstein Wave–Map System in 2+1 Dimensionen reduziert werden kann. Das Ziel dieser Arbeit ist es, ein Programm zur Untersuchung von globaler Regularität von kritischen selbst–gravitativen Wave–Maps ins Leben zu rufen um die globale Regularität der 3+1 Einstein Vakuum Gleichungen zu verstehen. Die gegenwärtige Herangehensweise hat den Vorteil, dass man in der kritischen Dimension für Wave–Maps arbeitet. In Laufe der letzten zwanzig Jahre wurde eine Reihe von Techniken entwickelt, um die Frage der globalen Regularität von kritischen Wave–Maps auf dem Minkowski Hintergrund zu klären. Jeder Vortschritt auf dem Gebiet der globalen Regularität von kritischen selbst–gravitativen Wave–Maps sollte nicht nur diese Methoden im Blick haben, sondern auch neue Ideen und Techniken zur Überwindung von Hindernissen durch die sich entwickelnde Geometrie des Systems einführen. Diese Arbeit ist ein kleiner Schritt in diese Richtung. Das wesentliche Resultat dieser Arbeit ist der Beweis, dass die Energie der Einstein– Äquivarianten Wave–Map Systeme sich bei der Cauchy Evolution nicht konzentrier- ert. Ein Hauptbestandteil des Beweises ist die Ausnutzung der Tatsache, dass die geometrische Masse im Unendlichen des Einstein–Äquivarianten Wave–Map Systems während der Evolution erhalten bleibt. Diese Beobachtung hat dennoch ein paar subtile lokale Auswirkungen welche benutzt werden um die Energie lokal abzuschätzen. Zum Beispiel konstruieren wir ein Divergenz–freies Vektorfeld, welches Monotonie der En- ergie auf dem Rückwärts Nullkegel in jedem Punkt gibt. Außerdem wurde dieser Vektor benutzt um zu Zeigen, dass die Energie sich nicht entfernt von der Achse der Domain– Manigfaltigkeit konzentriert. Später, wenn die Divergenz des Morawetz Vektors auf dem gestutzten Rückwärts Nullkegel genähert wird, zeigen wir, dass die kinetische Energie sich nicht konzentriert. Letztendlich, annehmend, dass die Ziel–Mannigfaltigkeit die Grillakis Bedingung erfüllt, fahren wir mit dem Beweis der nicht–Konzentration von Energie für das kritische Einstein–Äquivariante Wave–Map System fort.
