On enumeration of chord diagrams and asymptotics of Vassiliev invariants

Abstract

The subject of the present thesis are combinatorics of chord diagrams and asymptotics of Vassiliev invariants. In sections 2 and 3 we will derive some (purely) enumerative results on special kinds of chord diagrams. Although not directly related to Vassiliev invariants, these results provide a glimpse of the combinatorial complexity of chord diagrams -- already for easily to define properties the enumeration is rather hard and requires additional ideas. Parts of this work can be found in several papers of mine In section 4 we will use combinatorial techniques to relate enumeration of special chord diagrams to a context of Vassiliev invariants and will prove the asymptotical upper bound $D!/1.1^D$ for the number of Vassiliev invariants in the degree $D$. 5 we will use the techniques of section 4 and the result of Chmutov and Duzhin to deduce a lower bound for the number of all Vassiliev invariants and discuss the relation between the asymptotics of prime and all Vassiliev invariants. Parallely, we give a summary on what we know about the asymptotics of Vassiliev invariants. Finally, in section 6 we use the rather different approach of braiding sequences to prove exponential upper bounds for the number of Vassiliev invariants on knots with bounded braid index and arborescent knots.

Der Gegenstand dieser Arbeit ist die Kombinatorik von Sehnendiagrammen und Asymptotik von Vassiliev-Invarianten. In den Abschnitten 2 und 3 werden wir einige (reine) Abzählresultate über Sehnendiagramme herleiten. Obwohl nicht direkt in Beziehung zu Vassiliev- Invarianten, verdeutlichen sie die kombinatorische Komplexität der Sehnendiagramme -- schon für einfache Eigenschaften wird die Abzählung kompliziert und erfordert zusätzliche Ideen. Im Abschnitt 4 werden wir kombinatorische Techniken benutzen, um Abzählung bestimmter Sehnendiagramme mit Vassiliev-Invarianten in Verbindung zu bringen, und werden eine obere Abschätzung der Anzahl der Vassiliev-Invarianten in Abhängigkeit vom Grad herleiten. Im Abschnitt 5 werden wir mit Hilfe der Techniken aus Abschnitt 4 und dem Resultat von Chmutov und Duzhin eine untere Abschätzung der Anzahl aller Vassiliev-Invarianten herleiten und die Beziehung zwischen der Anzahl der primitiven und aller Vassiliev-Invarianten diskutieren. Parallel dazu werden wir alles, was über Asymptotik von Vassiliev-Invarianten bekannt ist, zusammenfassen. Im Abschnitt 6 werden wir schliesslich mit Hilfe der Methode der Verzopfungsreihen exponentielle obere Schranken für die Anzahl der Vassiliev- Invarianten auf Knoten von beschränktem Zopfindex und arboreszenten Knoten herleiten. Teile dieser Dissertation können in mehreren Arbeiten von mir gefunden werden.