Regularity of the Brakke Flow

Abstract

This work is about the regularity of the Brakke flow. A Brakke flow is a generalised version of mean curvature flow, which describes a family of surfaces parameterized by time such that each point at each time is moved with velocity equal to the mean curvature vector of the surface at that point. The central Result is Brakke's local regularity theorem, which considers Brakke flows that lie in a slab. If this slab is narrow enough and also the area ratio in suitable balls is controlled by certain bounds, then in a smaller region it is actually smooth and graphical. Brakke's general regularity theorem says that at a time, where no sudden loss of area occurs, the singular set of a Brakke flow has top-dimensional measure zero. This result is primarily based on the fact, that for almost every point with a tangent space, we can find a small neighbourhood, where the local regularity theorem can be applied. In the last part we consider Brakke flows in a cylinder, for which the starting surface is graphical except for a set S.If S has small enough measure and if the graphical part satisfies certain gradient- and height- bounds, then one can use the local regularity theorem to show,there are two possibilities: (1) After some time there exists a period of time where the flow is smooth and graphical inside a smaller cylinder. (2) At some later time there exists a smaller cylinder which contains no part of the Brakke flow.

Diese Arbeit befasst sich mit der Regularität des Brakke Flusses. Bei einem Brakke Fluss handelt es sich um eine Veralgemeinerung des Mittleren Krümmungsflusses, welcher eine Familie von Flächen beschreibt die nach der Zeit parametrisiert sind, wobei sich jeder Punkt der Fläche zu jedem Zeitpunkt mit Geschwindigkeit gleich dem Mittleren Krümmungsvektor an die Fläche in diesem Punkt bewegt. Zentrales Ergebnis ist Brakkes lokales Regularitätstheorem, dabei werden Brakke Flüsse betrachtet die lokal in einer horizontalen Röhre liegen. Ist nun die Röhre schmal genug und sind des weiteren die Flächenquotienten in bestimmten Kugeln durch bestimmte Schranken kontrolliert, so gibt es ein kleineres Gebiet in dem der Brakke Fluss glatt und graphisch ist. Brakkes allgemeines Regularitätstheorem besagt, dass zu einem Zeitpunkt, zu dem kein abrupter Massenverlust auftritt, die singuläre Menge eines Brakke Flusses Top-dimensionales Maß Null hat. Dieses Ergebnis beruht im Wesentlichen darauf, dass es für fast alle Punkte mit einem Tangentialraum eine kleine Umgebung gibt, in der sich das lokale Regularitätstheorem anwenden lässt. Im letzten Teil betrachten wir Brakke Flüsse in einem Zylinder, deren Anfangsfläche graphisch ist mit Ausnahme einer Menge S. Ist das Maß von S klein genug und genügt der graphische Teil bestimmten Gradienten- und Höhen-schranken, so lässt sich mit Hilfe des lokalen Regulartätstheorems zeigen, dass es zwei Möglichkeiten gibt: (1)Etwas später gibt es eine Zeitperiode während der der Brakke Fluss in einem kleineren Zylinder glatt und graphisch ist. (2)Zu einem späteren Zeitpunkt existiert ein kleinerer Zylinder der keinen Teil des Brakke Flusses enthält.