Adaptive Lossy Trajectory Compression for Optimal Control of Parabolic PDEs

Abstract

Optimal control problems governed by nonlinear, time-dependent PDEs on three- dimensional spatial domains are an important tool in many fields, ranging from engineering applications to medicine. For the solution of such optimization problems, methods working on the reduced objective functional are often employed to avoid a full spatio-temporal discretization of the problem. The evaluation of the reduced gradient requires one solve of the state equation forward in time, and one backward solve of the adjoint equation. The state enters into the adjoint equation, requiring the storage of a full 4D data set. If Newton-CG methods are used, two additional trajectories have to be stored. To get numerical results that are accurate enough, in many cases very fine discretizations in time and space are necessary, leading to a significant amount of data to be stored and transmitted to mass storage. This thesis deals with the development and analysis of methods for lossy compression of such finite element solutions. The algorithms are based on a change of basis to reduce correlations in the data, combined with quantization. This is achieved by transforming the finite element coefficient vector from the nodal to the hierarchical basis, followed by rounding the coefficients to a prescribed precision. Due to the inexact reconstruction, and thus inexact data for the adjoint equation, the error induced in the reduced gradient, and reduced Hessian, has to be controlled, to not impede convergence of the optimization. Accuracy requirements of different optimization methods are analyzed, and computable error estimates for the influence of lossy trajectory storage are derived. These tools are used to adaptively control the accuracy of the compressed data. The efficiency of the algorithms is demonstrated on several numerical examples, ranging from a simple linear, scalar equation to a semi- linear system of reaction-diffusion equations. In all examples considerable reductions in storage space and bandwidth requirements are achieved, without significantly influencing the convergence behavior of the optimization methods. Finally, to go beyond pointwise error control, the hierarchical basis transform can be replaced by more sophisticated wavelet transforms. Numerical experiments indicate that choosing suitable norms for error control allows higher compression factors.

Optimalsteuerungsprobleme mit parabolischen partiellen Differentialgleichungen als Nebenbedingung werden häufig in ein unrestringiertes Optimierungsproblem mit reduziertem Zielfunktional überführt. Zur Berechnung des reduzierten Gradienten muss eine adjungierte Gleichung gelöst werden. Diese ist eine Rückwärtsgleichung, für die die zuvor berechnete Lösung der Zustandsgleichung benötigt wird. Bei hohen Anforderungen an die Diskretisierungsgenauigkeit fällt dafür ein hoher Speicherbedarf an. Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Entwicklung und Analyse von Verfahren zur verlustbehafteten Kompression solcher Finite-Elemente-Lösungen. Die entwickelten Methoden verwenden einen Basiswechsel, um Korrelationen in den zu speichernden Daten zu reduzieren, sowie Quantisierung, welche die Genauigkeit der Daten verringert. Für den grundlegenden Algorithmus wird die Transformation von Knoten- zu Hierarchischer Basis verwendet, und anschließend die Koeffizienten auf die gewünschte Präzision gerundet. Ein Schwerpunkt der Arbeit liegt auf der adaptiven Wahl der erforderlichen Genauigkeit, um den Verlauf der Optimierung nicht zu beeinträchtigen. Dafür werden berechenbare Fehlerabschätzungen sowie Kriterien zur Wahl der Quantisierungstoleranz für verschiedene Optimierungsverfahren hergeleitet. Während für Gradienten- und Quasi-Newton- Verfahren nur der Fehler im reduzierten Gradienten von Bedeutung ist, muss bei Newton-CG-Verfahren berücksichtigt werden, dass Matrix-Vektor-Produkte während des CG-Verfahrens nur inexakt berechnet werden können. Mittels Fehlerverfolgung und rechtzeitiger Neuberechnung des Residuums kann verhindert werden dass der Algorithmus vorzeitig abbricht. Die entwickelten Verfahren werden an verschiedenen Bespielen getestet. In allen numerischen Experimenten kann durch adaptive Wahl der Genauigkeit erreicht werden, dass trotz verlustbehafteter Kompression keine signifikante Abweichung im Konvergenzverhalten der Optimierungsverfahren zu beobachten ist. Um über punktweise Fehlerkontrolle hinausgehen zu können, wird die Transformation auf die Hierarchische Basis durch eine Wavelet-Transformation ersetzt. Hierfür werden effizient implementierbare Wavelet-Konstruktionen vorgestellt. Numerische Experimente belegen, dass durch Fehlerkontrolle in der passenden Norm deutlich verbesserte Kompressionsfaktoren erreicht werden können.