Variational and statistical shape modeling for 3D geometry reconstruction

Abstract

The reconstruction of geometric shapes plays an important role in many biomedical applications. One example is the patient-specific, computer-aided planning of complex interventions, which requires the generation of explicitly represented geometric models of anatomical structures from medical image data. Only solutions that require minimal interaction by medical personnel are likely to enter clinical routine. Another example is the planning of surgical corrections of deformities where the target shape is unknown. Surgeons are often forced to resort to subjective criteria. These applications still pose highly challenging reconstruction problems, which are addressed in this thesis. The fundamental hypothesis, pursued in this thesis, is that the problems can be solved by incorporating a-priori knowledge about shape and other application-specific characteristics. Here, we focus mainly on the aspect of geometric shape analysis. The basic idea is to capture the most essential variations of a certain class of geometric objects via statistical shape models, which model typical features contained in a given population, and restrict the outcome of a reconstruction algorithm (more or less) to the space spanned by such models. A fundamental prerequisite for performing statistical shape analysis on a set of different objects is the identification of corresponding points on their associated surfaces. This problem is particularly difficult to solve if the shapes stem from different individuals. The reason lies in the basic difficulty of defining suitable measures of similarity. In this thesis, we divide the correspondence problem into feature and non-feature matching. The feature part depends on the application, while the non-feature part can be characterized by a purely geometric description. We propose two different approaches. The first approach has proved useful in many applications. Yet, it suffers from some practical limitations and does not yield a measure of similarity. Our second, variational, approach is designed to overcome these limitations. In it, we propose to minimize an invariant stretching measure, constrained by previously computed features. An important property, which sets our method apart from previous work, is that it does not require the computation of a global surface parameterization.

Die Rekonstruktion geometrischer Formen spielt eine wichtige Rolle in vielen biomedizinischen Anwendungen. Ein Beispiel ist die patientenspezifische, computergest ützte Planung komplexer Interventionen, die die Erzeugung explizit repr äsentierter geometrischer Modelle anatomischer Strukturen aus medizinischen Bilddaten erfordert. Nur L ösungen, welche geringster Interaktion durch das medizinische Personal bed ürfen, k önnen den Weg in die klinische Routine finden. Ein anderes Beispiel ist die Planung chirurgischer Korrekturen von Missbildungen, bei denen die Zielform unbekannt ist. Chirurgen sind h äufig gezwungen, auf subjektive Kriterien zur ückzugreifen. Anwendungsszenarien dieser Art werfen schwierige Rekonstruktionsprobleme auf, die in dieser Arbeit behandelt werden. Die grundlegende Hypothese, auf welcher diese Arbeit aufbaut, ist, dass derartige Rekonstruktionsprobleme gel öst werden k önnen, indem man a-priori Wissen über Form- und andere anwendungsspezifische Eigenschaften ber ücksichtigt. Wir konzentrieren uns besonders auf den Aspekt der geometrischen Formanalyse. Die Grundidee besteht darin, die wesentlichen Variationen einer bestimmten Klasse von geometrischen Objekten in einem statistischen Formmodell zu erfassen. Dieses enth ält typische Merkmale einer gegebenen Population und schr änkt das Resultat eines Rekonstruktionsalgorithmus (mehr oder weniger) auf den durch das Modell beschriebenen L ösungsraum ein. Eine Grundlage f ür die statistische Analyse von unterschiedlichen Formen ist die Identifikation korrespondierender Punkte auf deren Oberfl ächen. Dieses Problem ist besonders schwierig, wenn die Formen von unterschiedlichen Individuen stammen. Die Ursache liegt in der grundlegenden Schwierigkeit, geeignete Ähnlichkeitsma ße zu definieren. In der vorliegenden Arbeit separieren wir das Korrespondenzproblem in die Identifikation von besonderen Merkmalen und nicht-merkmalsbehafteten Regionen. W ährend der Merkmalsanteil immer von einer spezifischen Anwendung abh ängt, lassen sich nicht-merkmalsbehaftete Regionen nur geometrisch charakterisieren. Wir schlagen zwei verschiedene Verfahren vor. Der erste Ansatz hat sich in vielen Anwendungen als n ützlich erwiesen, unterliegt jedoch praktischen Einschr änkungen und liefert kein Ähnlichkeitsma ß. Unser zweites, variationelles Verfahren soll diese Eingrenzungen überwinden. Wir schlagen zur Minimierung ein invariantes, metrisches Verzerrungsma ß vor, unter der Ber ücksichtigung vorab berechneter Merkmale. Eine wichtige Eigenschaft unseres Verfahrens, die es von anderen wesentlich unterscheidet, ist, dass es keiner Berechnung einer globalen Oberfl ächenparametrisierung bedarf.