This thesis presents several developments related to the associahedron. All results are motivated by two specific problems. The first one, which was completely solved in this work, concerns some polytopal realizations of associahedra (Chapter 1), while the second one is about the existence of polytopal realizations of multi-associahedra. Although this second problem was not solved in the thesis, it served as an starting point for very interesting results connecting subword complexes in the study of Gröbner geometry and cluster complexes in the theory of cluster algebras (Chapter 2). These results provide a new approach and new perspectives for problems related to multi- associahedra and, in a more general context, to generalized multi- associahedra. For example, we use this approach as a tool to produce polytopal realizations for small explicit examples (Chapter 3). The thesis is subdivided into three chapters. The first chapter is focused on geometric realizations of the associahedron, and is joint work with Francisco Santos and Günter M. Ziegler [15]. We show that three systematic construction methods for the n-dimensional associahedron (as the secondary polytope of a convex (n+3)-gon by Gelfand, Kapranov and Zelevinsky, via cluster complexes of the root system A_n by Chapoton, Fomin and Zelevinsky, and as Minkowski sums of simplices by Postnikov) produce substantially different realizations, for any choice of the parameters for the constructions. The cluster complex and the Minkowski sum realizations were generalized by Hohlweg and Lange to produce exponentially many distinct realizations, all of them with normal vectors in $\\{0,\pm1\\}^n$. We present another, even larger, exponential family, generalizing the cluster complex construction --- and verify that this family is again disjoint from the previous ones, with one single exception: The Chapoton--Fomin--Zelevinsky associahedron appears in both exponential families. The second chapter is joint work with Jean-Philippe Labbé and Christian Stump [14]. We introduce, for any finite Coxeter group and any nonnegative integer k, a spherical subword complex called multi-cluster complex. This subword complex coincides with the cluster complex of the given type for k=1, and extends the notion of multi-associahedra from types A and B to arbitrary finite Coxeter groups. We study combinatorial and geometric properties of multi-cluster complexes. In particular, we show that every spherical subword complex is the link of a face of a multi-cluster complex, and describe a natural cyclic action that yields a connection between multi- cluster complexes, Auslander-Reiten quivers and repetition quivers. The third chapter shows a new point of view on the problem of polytopality of multi- associahedra and spherical subword complexes, and presents two computational methods to find polytopal realizations for small explicit examples. These methods were implemented in joint work with Jean-Philippe Labbé using the computer algebra system Sage [80].
Diese Arbeit präsentiert mehrere Entwicklungen im Zusammenhang mit Assoziaeder. Alle Resultate entstanden aus zwei spezifischen Fragestellungen. Die Erste, welche in dieser Arbeit vollständig gelöst wurde, befasst sich mit einigen polytopalen Realisierungen von Assoziaedern (Chapter 1), während es in der Zweiten um die Existenz polytonaler Realisierungen von Multiassoziaedern geht. Obwohl die zweite Fragestellung in dieser Arbeit nicht gelöst wurde, diente sie als Ausgangspunkt für sehr interessante Ergebnisse, welche Subwordkomplexe aus der Gröbner-Geometrie mit Clusterkomplexen aus der Clusteralgebra verbinden (Chapter 2). Diese Ergebnisse liefern einen neuen Ansatz und eine neue Perspektive für Fragestellungen, die mit Multiassoziaedern und - in einem allgemeineren Kontext - mit verallgemeinerten Multiassoziaedern zusammenhängen. Zum Beispiel nutzen wir diesen Ansatz als ein Hilfsmittel, um polytopale Realisierungen für kleine, explizite Beispiele zu erzeugen (Chapter 3). Diese Arbeit gliedert sich in drei Teile. Der erste Teil konzentriert sich auf geometrische Realisierungen von Assoziaedern und entstand in Zusammenarbeit mit Francisco Santos und Günter M. Ziegler [15]. Wir zeigen, dass drei systematische Konstruktionsmethoden des n-dimensionale Assoziaeders (als Sekunddärpolytop eines konvexen (n+3)-gons von Gelfand, Kapranov und Zelevinsky, durch Clusterkomplexe des Wurzelsystems A_n bei Chapoton, Fomin und Zelevinsky, und als Minkowskisumme von Simplizes bei Postnikov) grundlegend verschiedene Realisierungen für jede Wahl der Parameter der Konstruktionen erzeugen. Die Clusterkomplex- und Minkowski-Realisierung wurden von Hohlweg und Lange verallgemeinert, um exponentiell viele verschiedene Realisierungen zu erzeugen, deren Normalenvektoren in $\\{0,\pm1\\}^n$ liegen. Wir stellen eine andere, sogar größere, exponentielle Familie vor, die die Clusterkomplexkonstruktion verallgemeinert - und weisen nach, dass diese Familie selbst schnittfremd mit den vorangegangenen ist, mit einer Außnahme: Das Chapoton-Fomin-Zelevinsky-Assoziaeder liegt in beiden exponentiellen Familien. Der zweite Teil entstand in Zusammenarbeit mit Jean- Philippe Labbé und Christian Stump [14]. Für jede endliche Coxeter-Gruppe und jede nichtnegative ganze Zahl k führen wir einen sphärischen Subwordkomplex ein, den wir Multiclusterkomplex nennen. Dieser Subwordkomplex entspricht dem Clusterkomplex des gegebenen Types für k=1 und erweitert den Begriff des Multiassoziaeders vom Typ A und B zu beliebigen endlichen Coxeter-Gruppen. Wir untersuchen kombinatorische und geometrische Eigenschaften der Multiclusterkomplexe. Insbesondere zeigen wir, dass jeder sphärische Teilwortkomplex der Link einer Seite eines Multiclusterkomplexes ist und beschreiben eine natürliche zyklische Verknüpfung, die einen Zusammenhang zwischen ulticlusterkomplexen, ``Auslander-Reiten quivers" und ``repetition quivers" herstellt. Der dritte Teil zeigt eine neue Sichtweise auf die Frage nach der Polytopalität von Multiassoziaedern und sphärischen Subwordkomplexen und präsentiert zwei algorithmische Methoden, um Realisierungen von kleinen expliziten Beispielen zu finden. In Zusammenarbeit mit Jean-Philippe Labbé wurden diese Methoden unter Verwendung des Computer-Algebra-Systems Sage [80] implementiert.
