This work deals with the analysis of the dynamics at infinity and its relations to the finite dynamics. A trajectory undergoes a blow-up when its norm becomes infinite in finite time, a grow-up when its norm becomes infinite in infinite time. We interpret such trajectories as heteroclinic orbits to infinity. We aim at describing which finite invariant sets are connected to infinity via such blow/grow-up trajectories. There is a classical method for the detection of heteroclinic orbits called the Conley index Theory and based on topological machinery. Regrettably, this tool does not naturally access to unbounded sets. To circumvent this difficulty, we "compactifify" the phase space. To this aim, we proceed to a projection of the phase space X onto a bounded manifold. There are several ways to achieve this. We focus on two of them: the Bendixson compactification and the Poincaré compactification. These were originally developed for the analysis of planar vector fields. We show indeed that they are also valid in Hilbertspaces. However the term "compactification" is misleading in case of an infinite dimensional phase space X because the resulting "compactified" phase space is a bounded but infinite dimensional Hilbert manifold, hence not compact. We keep this name for historical reasons though. The Bendixson compctification projects infinity on a point while infinity spreads out on a sphere with the Poincaré compactification. The direct application of the Conley index methods on the point at infinity or on invariant sets in the sphere at infinity often fails. the requirement of isolated invariance is even in simple cases not always fulfilled. We introduce the concept of invariant set S with isolated invariant dynamical complement. Roughly speaking, the dynamical complement of an invariant set S contains the dynamics that remains bounded away from S. This concept is used in the construction of an extended phase space and an extended flow where the degenerate set S is replaced by an ersatz that can be dealt with via Conley index methods. Our main result states the correspondence between heteroclinic connections to the ersatz in the extended flow and connections to the set S in the original compactified flow. We give examples for dynamics at infinity and set the groundwork towards applications of these methods for ODEs and PDEs.
Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Analyse der Dynamik im Unendlichen, und wie diese mit der endlichen Dynamik zusammenhängt. Eine Trajektorie . Solche Trajektorien betrachten wir als heterokline Orbits zum Unendlichen. Wir wollen beschreiben, welche invarianten Mengen mit dem Unendlichen durch solchen explodierenden Orbits verbunden sind. Zum Nachweis heterokliner Trajektorien existiert eine klassische Methode, die auf Topologie basiert: die Conley-Index Theorie. Allerdings kann man den Conley-Index nicht auf unbeschränkte Mengen anwenden. Um diese Schwierigkeit zu umgehen, wird eine "Kompaktifizierung" des Phasenraumes vorgenommen. Dabei geht es darum, den Phasenraum X auf eine beschränkte Mannigfaltigkeit zu projizieren. Dies kann auf verschiedene Art und Weise geschehen. Wir konzentrieren uns auf zwei: die Bendixson-- Kompaktifizierung, und die Poincaré--Kompaktifizierung. Diese wurden ursprünglich für die Analyse von planaren Vektorfeldern entwickelt. Wir zeigen aber, dass diese Kompaktifizierungen in einem Hilbertraum durchführbar sind. Bei einem unendlich--dimensionalen Raum X ist die Bezeichnung "Kompaktifizierung" eigentlich falsch, da die Hilbert-Mannifaltigkeit, die dabei herauskommt, zwar beschränkt ist, aber wegen ihrer unendlichen Dimension nicht kompakt. Wir behalten den Namen trotzdem aus historischen Gründen. Bei der Bendixson-Kompaktifizierung wird Unendlich auf einem Punkt abgebildet, während in der Poincaré-Kompaktifizierung es sich in einer ganzen Sphäre ausbreiten kann. Die direkte Anwendung der Conley-Index Methoden auf dem Punkt im Unendlichen, oder auf einer invarianten Menge in der Sphäre im Unendlichen ist nicht immer möglich: die ausschlaggebende Voraussetzung der isolierten Invarianz ist oft im Unendlichen verletzt, sogar für relativ einfache planare Vektorfelder. Wir führen das Konzept einer invariante Menge S im Unendlichen, die einen isoliert invariantes "dynamischen" Komplement S besitzt, ein. Dieses dynamische Komplement enthält, grob gesagt, die Dynamik, die fern von S bleibt. Es erlaubt uns, einen erweiterten Phasenraum und einen erweiterten Fluss zu konstruieren, wobei die "degenerierte" invariante Menge S durch etwas ersetzt wird, womit der Conley-Index gut umgehen kann. Unser Hauptresultat besagt, dass die Existenz von heteroklinen Trajektorien zwischen einer invarianten Menge S und dem "Ersatz" unter dem erweiterten Fluss von Conley- Index Methoden nachweisbar ist, und liefert die Existenz von echten heteroklinen Trajektorien nach S. Darüber hinaus zeigen wir Beispielen für Dynamik im Unendlichen und die Anwendung dieser Methoden für gewöhnliche und teilweise auch für partielle Differentialgleichungen.
