Deformations of rational varieties with codimension-one torus action

Abstract

This dissertation deals with deformations of rational, normal varieties with a complexity-one torus action. Such varieties can be described combinatorially via polyhedral divisors and divisorial fans, which have been developed by K. Altmann, J. Hausen, and H. Süß. The goal of this thesis is to study the deformation theory of these varieties by utilizing this combinatorial description. R. Vollmert could already show that combinatorial decompositions of a polyhedral divisor lead to deformations of the corresponding affine variety. The core of this dissertation consists of a procedure for gluing together these deformations of affine varieties in order to construct deformations of more general varieties. The resulting deformations are then called T-deformations. After introducing T-deformations, their essential properties are studied. Criteria for the separatedness and properness of a T-deformation are given, as well as a criterion for local triviality. For the case of locally trivial T-deformations, the image of the Kodaira-Spencer map is calculated. These first results can be applied to show that the T-deformations of a smooth, complete toric variety span the vector space of infinitesimal deformations. This means that it is possible to gather much information concerning the deformation theory of such varieties solely via T-deformations. A second application of these results concerns deformations of rational surfaces with C*-action. Here it is shown that all such surfaces with some fixed Picard number larger than two can be connected via T-deformations. The theory of T-deformations is then further developed in order to study families of divisors and projectively embedded T-deformations. It turns out that for T-deformations of complete, smooth varieties, there is a natural isomorphism between the Picard groups of the fibers. This isomorphism generalizes to a map between certain subgroups of the Picard groups in the nonsmooth case. This map is then used to study embeddability properties of T-deformations. In particular, it is shown that all T-deformations of any projective variety can in fact be embedded. Two additional applications are also discussed. The combinatorics involved in constructing T-deformations can be used to give a purely combinatorial proof that the geometric models of binary symmetric trivalent phylogenetic trees with equal number of leaves are in fact identical. Furthermore, T-deformations can be used to construct partial smoothings of certain Fano varieties.

Diese Dissertation befasst sich mit Deformationen von rationalen, normalen Varietäten mit einer Toruswirkung der Komplexität eins. Solche Varietäten lassen sich durch polyedrische Divisoren und divisorielle Fächer kombinatorisch beschreiben, die von K. Altmann, J. Hausen und H. Süß entwickelt wurden. Ziel dieser Arbeit ist es, mithilfe dieser Kombinatorik die Deformationstheorie dieser Varietäten zu erforschen. R. Vollmert konnte bereits zeigen, dass eine kombinatorische Zerlegung eines polyedrischen Divisors zu einer Deformation der zugehörigen affinen Varietät führt. Der Kern dieser Dissertation besteht darin, ein Verfahren anzugeben, wie diese Deformationen von affinen Varietäten verklebt werden können, um Deformationen von nicht zwangsweise affinen Varietäten zu konstruieren. Die daraus hervorgehenden Deformationen werden als T-Deformationen bezeichnet. Nach der Einführung von T-Deformationen werden ihre grundlegenden Eigenschaften untersucht. Kriterien für die Separiertheit und Eigentlichkeit einer T-Deformation werden angegeben, sowie ein Kriterium für lokale Trivialität. Für den Fall von lokaler Trivialität wird das Bild der Kodaira-Spencer Abbildung berechnet. Diese ersten Untersuchungsergebnisse lassen sich anwenden, um zu zeigen, dass die T-Deformationen einer glatten, kompletten, torischen Varietät den Vektorraum der infinitesimalen Deformationen dieser Varietät aufspannen. Das heißt, dass man allein durch T-Deformationen viele Informationen über die Deformationsmöglichkeiten einer solchen Varietät erhält. Als zweite Anwendung werden T-Deformationen von rationalen Flächen mit C*-Wirkung untersucht. Hier wird gezeigt, dass alle solche Flächen mit einer fixierten Picard-Zahl größer zwei durch T-Deformationen ineinander überführbar sind. Die Theorie der T-Deformation wird weiterentwickelt, um Familien von Divisoren und projektiv eingebettete Deformationen zu untersuchen. Es stellt sich heraus, dass es bei T-Deformationen von glatten kompletten Varietäten eine natürliche Isomorphie zwischen den Picard-Gruppen der Fasern gibt. Diese Isomorphie verallgemeinert sich zu einer Abbildung zwischen Untergruppen der Picard-Gruppen im nicht glatten Fall. Diese Abbildung wird anschließend benutzt, um die Einbettbarkeit von T-Deformation zu untersuchen. Insbesondere wird gezeigt, dass alle T-Deformationen von projektiven Varietäten einbettbar sind. Zudem werden noch zwei weitere Anwendungen besprochen. Zum einen liefert die zugrundeliegende Kombinatorik von T-Deformationen einen rein kombinatorischen Beweis dafür, dass die geometrischen Modelle von binären symmetrischen trivalenten phylogenetischen Bäumen mit gleicher Blattanzahl identisch sind. Zum anderen ermöglichen T-Deformationen auch die Konstruktion von partiellen Glättungen gewisser torischer Fanovarietäten.