Given a projective family of semi-stable curves over a complete discrete valuation ring of characteristic p>0 with algebraically closed residue field, we construct a specialization functor between the category of continuous representations of the pro-étale fundamental group of the closed fibre and the category of stratified bundles on the geometric generic fibre. By Tannakian duality, this functor induces a morphism between the corresponding affine group schemes. We show that this morphism is a lifting of the specialization map between the étale fundamental groups constructed by Grothendieck in SGA1. Moreover, the setting in which we work provides a general framework to understand Gieseker’s construction for stable curves with degenerate closed fibre.
Zu einer projektiven Familie semi-stabiler Kurven über einem vollständigen diskreten Bewertungsring in Charakteristik p>0 konstruieren wir einen Spezialisierungsfunktor zwischen der Kategorie der stetigen Darstellungen der pro-étalen Fundamentalgruppe der speziellen Faser und der Kategorie der stratifizierten Bündel auf der geometrischen generischen Faser. Dieser Funktor induziert einen Morphismus zwischen den via Tannaka Dualität korrespondierenden affinen Gruppenschemata. Wir zeigen, dass dieser Morphismus ein Lift von Grothendiecks Spezialisierungsabbildung zwischen den entsprechenden étalen Fundamentalgruppen ist, die in SGA1 konstruiert wurde. Darüber hinaus ergeben unsere Methoden ein allgemeines Framework um Giesekers Konstruktion von stabilen Kurven mit degenerierter spezieller Fase zu verstehen.
