Energy decay law in n-dimensional Gowdy spacetimes with torus topology

Abstract

The present thesis is concerned with the construction of Gowdy spacetimes with torus topology in n dimensions and the study of their asymptotics in the expanding direction. Already much is known about these spaces in four dimensions, in particular, the solution to Einstein's vacuum equations can be represented as a wave-map from a Minkowski-like space to the hyperbolic plane whose energy decays as 1/t as t goes to infinity. The behaviour of the solution at late time is governed by a quantity which is invariant under isometries of the target space. The present thesis contains a derivation of the target space metric in n dimensions, i. e., the standard metric on SL(n-2)/SO(n-2) in certain coordinates, and shows that, just as in four dimensions, the energy of the wave-map which describes the solution decays asymptotically as 1/t. More precisely, the spacetime metric is constructed using Kaluza-Klein reduction on the circle with the resulting space having T^(n-2) symmetry. The gravitational Lagrangian is then dimensionally reduced using the symmetries of the model. The Einstein vacuum equations of the space are just as in four dimensions the wave-map equations of a map from a Minkowski-like space to SL(n-2)/SO(n-2) endowed with the standard metric. Since the target space metric is invariant under SL(n-2), Noether's theorem guarantees the existence of (n-2)^2-1 conserved quantities which constitute a representation of the Lie algebra sl(n-2) under Poisson brackets. The Casimir operator in this representation provides us with a quantity which is invariant under isometries of the target space. For homogeneous data, this invariant is, at fixed time, proportional to the kinetic energy of the wave-map. Unfortunately, this quantity has a very complicated algebraic expression in higher dimensions, so that the type of arguments concerning the dynamics of the solution at late times that have been carried out in four dimensions are difficult to generalize. To investigate the behaviour of the solution in the expanding direction, we write down the target space metric and the energy of the wave-map in appropriate coordinates. The proof of the energy decay law is divided into two parts: first, we show that the result holds, provided that the initial energy is sufficiently small; we then show that the energy tends to 0 at large t, so that the small data result can be applied. The arguments presented are not geometric in nature and it is a challenge for future research to find an appropriate geometric frame.

Die vorliegende Dissertation handelt von der Konstruktion von Gowdy Raumzeiten in n Dimensionen und der Erforschung ihres asymptotischen Verhaltens in der expandierenden Richtung. Viel ist schon über diese Raumzeiten in vier Dimensionen bekannt, speziell die Lösung von Einsteins Vakuum Gleichungen kann als eine Wellenabbildung von einem Minkowski-ähnlichen Raum in die hyperbolische Ebene dargestellt werden, dessen Energie für t gegen unendlich wie 1/t abfällt. Das Verhalten von der Lösung zu späten Zeiten ist von einer Größe bestimmt die invariant unter Isometrien des Zielraums ist. Die Dissertation enthält eine Herleitung der Metrik des Zielraums in n Dimensionen, d.h., die standard Metrik auf SL(n-2)/SO(n-2) in bestimmten Koordinaten. Wir zeigen dass, genau wie in vier Dimensionen, die Energie von der Wellenabbildung die die Lösung beschreibt, asymptotisch wie 1/t abfällt. Genauer gesagt, wird die Raumzeit Metrik mit Hilfe der Kaluza-Klein Reduktion auf dem Kreis konstruiert; der resultierende Raum hat T^(n-2) Symmetrie. Die Lagrangedichte fur das Gravitationsfeld wird dann mit Hilfe der Symmetrien des Modells reduziert. Die Einstein Vakuum Gleichungen sind, genau wie in vier Dimensionen, die Wellenmap Gleichungen von einer Abbildung von einem Minkowski ähnlichen Raum zu SL(n-2)/SO(n-2) mit der standard Metrik. Weil die Metrik des Zielraums invariant unter SL(n-2) ist, hat man wegen Noethers Theorem (n-2)^2-1 Erhaltungsgrößen die eine Darstellung von der Lie Algebra sl(n-2) unter Poisson Klammern bilden. Der Casimir Operator in dieser Darstellung ist eine Größe die invariant unter Isometrien des Zielraums ist. Im Fall von homogenen Daten, ist diese Invariante, für gegebenes t, proportional zur kinetischen Energie der Wellenabbildung. Leider, lässt sich diese Größe in höheren Dimensionen algebraisch nur sehr kompliziert ausdrücken, so dass die Argumentation die in vier Dimensionen angewandt wurde, um das Verhalten der Lösung zu späten Zeiten zu analysiern, nicht einfach verallgemeinert werden kann. Um dieses Verhalten zu untersuchen, drücken wir die Metrik des Zielraums und die Energie der Wellenabbildung in angemessenen Koordinaten aus. Der Beweis des Abklingverhaltens der Energie besteht aus zwei Teilen: zuerst zeigt man, dass das Ergebnis gültig ist, wenn die Anfangsenergie klein genug ist; dann beweist man, dass sich die Energie für großes t Null annähert, so dass man das Resultat für kleine Anfangsdaten anwenden kann. Die Argumente sind nicht geometrisch und es wird eine Herausforderung für zukünftige Forschung sein einen angemessenen geometrischen Rahmen zu finden.