The surgery and level-set approaches to mean curvature Flow

Abstract

We study mean curvature flow (MCF) of smooth, closed hypersurfaces in Euclidean space. In the setting of two-convex surfaces of dimension at least three, Huisken and Sinestrari have recently developed a surgery-based approach to extending the classical evolution beyond the singular time. According to their program, one interrupts smooth MCF shortly before the singular time and manually excises appropriate high-curvature regions – so as to effect a fixed drop in the curvature of the surface – before resuming the smooth flow and repeating the procedure. This algorithm is controlled (across all surgeries) by a set of parameters which depend only on the initial data. The starting point for our work in this thesis is the observation that the choice of surgery times and locations – that is, the choice of surgery parameters – is not canonical. This motivates our central result, which can be thought of as a reconciliation between the flow with surgeries and the wellknown weak solution of the level-set flow. These are (heretofore) independent attempts at a geometrically reasonable model of mean curvature flow beyond the singular time. More specifically, we prove that the weak solution can be approximated (in an appropriate quantitative sense) by MCF with “small-scale” surgeries. This is a result of great utility as it can be used to establish new regularity properties of the weak solution; we additionally record some consequences of this nature. Our first object of study is classical MCF: we use estimates developed by Huisken and Sinestrari to bound certain Lp norms of the mean curvature under the smooth evolution. This result is of independent interest and boasts various novel features and consequences. It bounds, for example, the corresponding Lp norms of the second fundamental which play a central role in regularity theory for MCF – most notably in recent work by Ecker on the size of the singular set at the first singular time. We then discuss Huisken and Sinestrari’s MCF with surgeries. We prove that the aforementioned estimates for the classical evolution survive the explicit surgery procedure introduced by Huisken and Sinestrari. This leads to a new bound on the required number of surgeries which depends explicitly on the surgery parameters and which is essential for our main application. We finally consider a sequence of MCFs with surgeries along which we vary the surgery parameters such that the regions removed by surgery become smaller and smaller. The key ingredient in our analysis is a new geometric barrier construction controlling the relative positions of the weak evolution and the flow with surgeries; our approach makes use of familiar tools from the theory of weak solutions including Brakke’s “clearing out lemma”. In combination with the estimate on the required number of surgeries described above, our barrier construction dictates that the sequence of MCFs with surgeries converges (in an appropriate limit of the surgery parameters) to the weak solution of the level-set flow.

Wir studieren den Fluss entlang der mittleren Krümmung, für glatte, geschlossene Hyperflächen im Euklidischen Raum. Im Fall von zwei-konvexen Hyperflächen der Dimension drei oder größer, entwickelten Huisken und Sinestrari kürzlich eine auf Chirurgie basierende Methode, um klassische Lösungen über die singuläre Zeit hinaus fortzusetzen. Nach ihrem Ansatz unterbricht man den glatten Fluss kurz vor der singulären Zeit und schneidet dann manuell die Regionen der Hyperfläche heraus, welche hohe Krümmung aufweisen. Zusätzlich entfernt man jede Hyperflächenkomponente mit bekannter Topologie, sodass man eine bestimmte Verminderung der Hyperflächenkrümmung erhält, bevor man den glatten Fluss fortsetzt und diese Prozedur wiederholt. Dieser Algorithmus lässt sich über alle Chirurgien hinweg, durch eine Menge von Chirurgie-Parameter kontrollieren, welche nur von den Anfangsdaten abhängen. Der Startpunkt für unsere Arbeit ist die Beobachtung, dass es keine kanonische Wahl des Zeitpunktes für die Chirurgien und die zu entfernenden Regionen, das heißt für die Wahl der Chirurgie-Parameter, gibt. Diese Tatsache motiviert unser zentrales Ergebnis, welches zeigt, dass der Fluss mit Chirurgien kompatibel ist, mit den bekannten schwachen Lösungen des Niveauflächenflusses. Beide (bis jetzt unabhängigen) Konzepte liefern ein Modell des Flusses entlang der mittleren Krümmung über die singuläre Zeit hinaus. Genauer zeigen wir, dass die schwachen Lösungen (in einem geeigneten, qualitativen Sinne) durch eine Folge von Flüssen mit Chirurgien approximiert werden können. Dies ist ein sehr nützliches Resultat, da es erlaubt neue Regularitätseigenschaften, für schwache Lösungen, zu beweisen. Über das Resultat der Approximation hinaus, beweisen wir einige für die Regularit ätstheorie relevante Resultate. Wir beginnen die Arbeit mit der Untersuchung des klassischen Flusses entlang der mittleren Krümmung: Wir beschränken gewisse Lp-Normen der mittleren Krümmung entlang der glatten Evolution. Dieses Resultat ist von eigenem Interesse und liefert viele neue Erkenntnisse und Konsequenzen. So beschränkt es zum Beispiel die zugehörigen Lp-Normen der zweiten Fundamentalform, welche eine zentrale Rolle in der Regularitätstheorie für den Fluss entlang der mittleren Krümmung spielt – insbesondere in der aktuellen Arbeit von Ecker über die Größe der singulären Menge zur ersten singulären Zeit. Danach diskutieren wir Huisken und Sinestrari’s Fluss mit Chirurgien. Wir beweisen, dass die oben genannten Abschätzungen, für den klassischen Fluss, auch für die explizite Chirurgie-Prozedur von Huisken und Sinestrari ihre Gültigkeit bewahren. Dies führt zu einer neuen Schranke an die Anzahl der benötigten Chirurgien, welche explizit von den Chirurgie-Parametern abhängt. Diese Schranke ist essentiell für unser Hauptresultat. Schließlich betrachten wir eine Folge von Flüssen mit Chirurgien, entlang derer die, während der Chirurgien entfernten, Regionen kleiner und kleiner werden. Das wesentliche Werkzeug für unsere Rechnungen ist eine neue geometrische Barrierenkonstruktion, welche die relative Position der schwachen Lösung zur Lösung mit Chirurgien kontrolliert. Unser Ansatz nutzt dabei bekannte Werkzeuge aus der Theorie der schwachen Lösungen, wie das sogenannte Clearing out-Lemma von Brakke. In Kombination mit der oben beschriebenen Abschätzung der Anzahl der Chirurgien erzwingt unsere Barrierenkonstruktion die Konvergenz der Flüsse mit Chirurgien (in einem geeigneten Grenzwert für die Chirurgie- Parameter) gegen die schwache Lösung des Niveauflächenflusses.