dc.contributor.author
Kastner, Lars
dc.date.accessioned
2018-06-07T15:24:51Z
dc.date.available
2016-03-09T14:08:17.061Z
dc.identifier.uri
https://refubium.fu-berlin.de/handle/fub188/1045
dc.identifier.uri
http://dx.doi.org/10.17169/refubium-5247
dc.description.abstract
We want to compute Ext^i of two T-invariant Weil divisors D and D' on an
normal affine toric variety. Our goal is a combinatorial criterion for maximal
Cohen-Macaulayness of D. The main tool is a generalization of the Taylor
resolution of monomial ideals in polynomial rings to monomial ideals in toric
rings. Then the question translates to computation of Ext^i of two divisorial
ideals. We arrive at a spectral sequence giving both a sufficient criterion
for vanishing of higher Ext^i and a superset of the support of Ext^1 in
combinatorial terms. After the general construction we restrict to the case of
cyclic quotient singularities. Here we can give an explicit combinatorial
description of Ext^1(D,D'). Furthermore we show a relationship between the
continued fraction giving the cyclic quotient singularity and the dimensions
of the Ext^1(D,D'). We conclude by giving a homogeneous basis of the algebra
Ext(D), giving rise to a combinatorial description of the multiplication.
de
dc.description.abstract
Diese Arbeit beschäftigt sich mit Ext-Moduln Torus-invarianter Weil-Divisoren
auf normalen affinen torischen Varietäten. Solche Weil-Divisoren lassen sich
durch Polyeder beschreiben, die dieselben Facetten-Vektoren haben, durch die
auch der Kegel gegeben ist, der die torische Varietät beschreibt. Das Ziel ist
es daher, diese kombinatorische Beschreibung auf die Ext-Moduln zu übertragen,
um damit zu bestimmen, ob ein Weil-Divisor maximal Cohen-Macaulay ist. Ziel
ist es Ext^i_X(D,D') zu gegebenen T -invarianten Weil-Divisoren D und D' auf
der normalen affinen torischen Varietät X zu berechnen. Da X=Spec(R) affin
ist, ist das äquivalent zur Berechnung von Ext^i_R(M,M'), wobei M und M' die
R-Moduln der globalen Schnitte von D, bzw. D' , bezeichnen. Die Arbeit
gliedert sich nun wie folgt: Zuerst geben wir eine kurze Einführung in die
torische Geometrie, die wir verwenden, und beschreiben den Zusammenhang von
Ext und maximal Cohen-Macaulay. Die Moduln M und M' sind sogenannte
divisorielle Ideale und sind in unserem Fall isomorph zu bestimmten
Monomidealen in R. Um Ext zu berechnen, konstruieren wir eine freie Auflösung
von M . Dazu verallgemeinern wir den Ansatz von Taylor zur Auflösung von
Monomidealen in Polynomringen auf Halbgruppenringe. Dies mündet in eine
Spektralsequenz, die es uns erlaubt, ein hinreichendes Kriterium für das
Verschwin-den aller höherer Ext-Moduln anzugeben. Außerdem können wir eine
Obermenge des kombinatorischen Trägers von Ext_1(D,D') angeben. Danach
schränken wir uns auf den Fall ein, dass X eine zyklische Quotienten-
Singularität (ZQS) ist. In diesem Fall ist die Klassengruppe endlich und die
Verallgemeinerung der Taylor-Auflösung mündet in eine kurze exakte Sequenz für
jeden Divisor. Dies erlaubt es uns alle freien Auflösungen als einen Köcher
darzustellen. Höhere Ext i (D,D') sind nun direkte Summen von Ext 1 (G, D' ),
wobei die benötigten G aus dem Köcher gewonnen werden. Als nächstes
interessieren wir uns daher für die Berechnung von Ext_1(D,D'). Wir können aus
den kombinatorischen Daten von D und D' eine kombinatorische Beschrei- bung
von Ext_1(D,D') gewinnen. Falls wir nur an der Dimension der Ext_1(D,D') für
alle Äquivalenzklassen aus der Klassengruppe interessiert sind, gibt es ein
weiteres hilfreiches Datum auf ZQS. ZQS sind eng verbunden mit Kettenbrüchen,
z.B. beschrieben Stevens und Christophersen die Komponenten der versellen
Deformation einer ZQS durch bestimmte Kettenbrüche. Die Matrix mit den
Dimensionen der Ext_1(D,D') lässt sich nun rekursiv aus dem Kettenbruch
gewinnen, der auch die ZQS beschreibt. Zuletzt widmen wir uns der Algebra
Ext(D). Anhand der bisherigen Überlegung entwickeln wir eine Basis von Ext(D)
als Vektorraum, die eine kombinatorische Beschreibung der Multiplikation
erlaubt.
de
dc.format.extent
139 Seiten
dc.rights.uri
http://www.fu-berlin.de/sites/refubium/rechtliches/Nutzungsbedingungen
dc.subject
algebraic geometry
dc.subject
toric geometry
dc.subject
cyclic quotient singularities
dc.subject.ddc
500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik
dc.title
Ext on affine toric varieties
dc.contributor.contact
k.l@fu-berlin.de
dc.contributor.firstReferee
Prof. Dr. Klaus Altmann
dc.contributor.furtherReferee
Prof. Dr. Lutz Hille
dc.date.accepted
2015-12-16
dc.identifier.urn
urn:nbn:de:kobv:188-fudissthesis000000101520-8
dc.title.translated
Ext auf affinen torischen Varietäten
de
refubium.affiliation
Mathematik und Informatik
de
refubium.mycore.fudocsId
FUDISS_thesis_000000101520
refubium.mycore.derivateId
FUDISS_derivate_000000018812
dcterms.accessRights.dnb
free
dcterms.accessRights.openaire
open access