Ext on affine toric varieties

Abstract

We want to compute Ext^i of two T-invariant Weil divisors D and D' on an normal affine toric variety. Our goal is a combinatorial criterion for maximal Cohen-Macaulayness of D. The main tool is a generalization of the Taylor resolution of monomial ideals in polynomial rings to monomial ideals in toric rings. Then the question translates to computation of Ext^i of two divisorial ideals. We arrive at a spectral sequence giving both a sufficient criterion for vanishing of higher Ext^i and a superset of the support of Ext^1 in combinatorial terms. After the general construction we restrict to the case of cyclic quotient singularities. Here we can give an explicit combinatorial description of Ext^1(D,D'). Furthermore we show a relationship between the continued fraction giving the cyclic quotient singularity and the dimensions of the Ext^1(D,D'). We conclude by giving a homogeneous basis of the algebra Ext(D), giving rise to a combinatorial description of the multiplication.

Diese Arbeit beschäftigt sich mit Ext-Moduln Torus-invarianter Weil-Divisoren auf normalen affinen torischen Varietäten. Solche Weil-Divisoren lassen sich durch Polyeder beschreiben, die dieselben Facetten-Vektoren haben, durch die auch der Kegel gegeben ist, der die torische Varietät beschreibt. Das Ziel ist es daher, diese kombinatorische Beschreibung auf die Ext-Moduln zu übertragen, um damit zu bestimmen, ob ein Weil-Divisor maximal Cohen-Macaulay ist. Ziel ist es Ext^i_X(D,D') zu gegebenen T -invarianten Weil-Divisoren D und D' auf der normalen affinen torischen Varietät X zu berechnen. Da X=Spec(R) affin ist, ist das äquivalent zur Berechnung von Ext^i_R(M,M'), wobei M und M' die R-Moduln der globalen Schnitte von D, bzw. D' , bezeichnen. Die Arbeit gliedert sich nun wie folgt: Zuerst geben wir eine kurze Einführung in die torische Geometrie, die wir verwenden, und beschreiben den Zusammenhang von Ext und maximal Cohen-Macaulay. Die Moduln M und M' sind sogenannte divisorielle Ideale und sind in unserem Fall isomorph zu bestimmten Monomidealen in R. Um Ext zu berechnen, konstruieren wir eine freie Auflösung von M . Dazu verallgemeinern wir den Ansatz von Taylor zur Auflösung von Monomidealen in Polynomringen auf Halbgruppenringe. Dies mündet in eine Spektralsequenz, die es uns erlaubt, ein hinreichendes Kriterium für das Verschwin-den aller höherer Ext-Moduln anzugeben. Außerdem können wir eine Obermenge des kombinatorischen Trägers von Ext_1(D,D') angeben. Danach schränken wir uns auf den Fall ein, dass X eine zyklische Quotienten- Singularität (ZQS) ist. In diesem Fall ist die Klassengruppe endlich und die Verallgemeinerung der Taylor-Auflösung mündet in eine kurze exakte Sequenz für jeden Divisor. Dies erlaubt es uns alle freien Auflösungen als einen Köcher darzustellen. Höhere Ext i (D,D') sind nun direkte Summen von Ext 1 (G, D' ), wobei die benötigten G aus dem Köcher gewonnen werden. Als nächstes interessieren wir uns daher für die Berechnung von Ext_1(D,D'). Wir können aus den kombinatorischen Daten von D und D' eine kombinatorische Beschrei- bung von Ext_1(D,D') gewinnen. Falls wir nur an der Dimension der Ext_1(D,D') für alle Äquivalenzklassen aus der Klassengruppe interessiert sind, gibt es ein weiteres hilfreiches Datum auf ZQS. ZQS sind eng verbunden mit Kettenbrüchen, z.B. beschrieben Stevens und Christophersen die Komponenten der versellen Deformation einer ZQS durch bestimmte Kettenbrüche. Die Matrix mit den Dimensionen der Ext_1(D,D') lässt sich nun rekursiv aus dem Kettenbruch gewinnen, der auch die ZQS beschreibt. Zuletzt widmen wir uns der Algebra Ext(D). Anhand der bisherigen Überlegung entwickeln wir eine Basis von Ext(D) als Vektorraum, die eine kombinatorische Beschreibung der Multiplikation erlaubt.