On Space Groups and Dirichlet-Voronoi Stereohedra

Abstract

In this thesis we study space groups and their applications in discrete geometry. We begin by giving an up-to-date introduction to general space groups with a focus on results that are related to tilings and their algebraic structure. In the second chapter we present a detailed investigation of which Dirichlet-Voronoi stereohedra the tetragonal, trigonal, hexagonal, and cubic groups can generate. Finally, the last chapter is devoted to proving a new upper bound on the number of isomorphism classes of space groups in dimension n.

In dieser Arbeit werden Raumgruppen und deren Anwendungen in Diskreter Geometrie untersucht. Wir beginnen mit einer aktuellen Einführung in die Theorie der Raumgruppen mit besonderem Fokus auf Pflasterungen und ihrer algebraischen Struktur. Im zweiten Kapitel präsentieren wir eine umfangreiche Studie der möglichen Dirichlet-Voronoi-Stereoeder, die durch tetragonale, trigonale, hexagonale und kubische Raumgruppen erzeugt werden können. Das letzte Kapitel widmet sich dem Beweis einer neuen oberen Schranke für die Anzahl der Isomorphieklassen von Raumgruppen in Dimension n.