Multidimensional coupling in a human knee model

Abstract

The thesis presents a new model for the numerical simulation of the mechanics of the human knee. In this model bones are described using linear elasticity. Ligaments instead are modelled as one-dimensional Cosserat rods. The simulations give insight into the mechanical behavior of human joints. This can be helpful for a number of applications. For example, it is possible to estimate the long-term effect of certain surgical interventions. Also, the design of prosthetic devices can be improved. The main mathematical focus is on the correct formulation of the coupling conditions between one- and three- dimensional objects. Starting from the case of two three-dimensional objects, for which coupling conditions can be derived rigorously, conditions for the multidimensional case are formulated. A solution algorithm for this coupled problem is presented, and the existence of solutions is shown under certain symmetry assumptions. For the subproblems, large contact problems and minimization problems on Riemannian manifolds have to be solved. For both problems, robust and efficient numerical methods are introduced. Numerical experiments show the applicability for real-world problems.

Die Arbeit stellt ein neues Modell zur numerischen Simulation des mechanischen Verhaltens des menschlichen Knies vor. In diesem Modell werden Knochen durch dreidimensionale lineare Elastizität beschrieben, Bändern hingegen werden als eindimensionale Cosseratstäbe modelliert. Eine solche Simulation liefert Einsichten in das Verhalten von menschlichen Gelenken. Solch Wissen ist in diversen Fragestellungen hilfreich. Zum Beispiel können Langzeitfolgen bestimmter Operationen abgeschätzt werden, oder das Design mancher Prothesen verbessert werden. Der mathematische Hauptschwerpunkt der Arbeit ist die korrekte Formulierung der Kopplung zwischen drei- und eindimensionalen Objekten. Ausgehend von dem Fall für zwei dreidimensionale Objekte, für den sich die Kopplungsbedingungen rigoros herleiten lassen, werden Bedingungen für das Problem mit unterschiedlicher Dimension formuliert. Ein Lösungsverfahren für dieses heterogene Problem wird präsentiert, und die Existenz von Lösungen unter gewissen Symmetrieannahmen gezeigt. Bei der Lösung der Teilprobleme müssen einerseits große Kontaktprobleme, andererseits Minimierungsprobleme auf Riemannschen Flächen gelöst werden. Für beide Probleme werden neue effiziente und robuste numerische Verfahren vorgestellt. Numerische Resultate zeigen die Anwendbarkeit des Verfahrens für reale Probleme.