Closed hypersurfaces driven by their mean curvature and inner pressure

Abstract

This thesis is devoted to the study of a new geometric flow equation, which describes the motion of closed hypersurfaces in Riemannian manifolds. If the surface is spherical, this equation can be considered as an idealised mathematical model of a moving soap bubble. It will be obtained as an Euler- Lagrange equation of a suitable action integral. In addition to the kinetic energy this action integral contains terms for the surface tension and the inner pressure, which depends on the enclosed volume. The resulting Euler- Lagrange equation is a quasilinear degenerate hyperbolic partial differential equation of second order, which describes the motion of the surface extrinsically. The structure of this equation generates interest from a mathematical point of view. Although Einstein's equations have a similar structure they describe the evolution of the geometry via intrinsic quantities. In contrast to wave maps our equation is not semilinear, but rather quasilinear and degenerate. In the introduction we derive the equation. We then study the basic properties of solutions of this equation, like energy and momentum conservation, and find special solutions of the equation such as oscillating and translating spheres. In Chapter 2 we answer the question of short time existence in the following way: given a smooth immersion of a closed hypersurface and a smooth initial velocity, there exists a smooth solution for a short time attaining these initial data. The proof relies on the Nash-Moser inverse function theorem. Finally in Chapter 3 we prove a continuation criterion (Theorem 3.1) which gives a sufficient condition under which the solution can be extended to a larger time interval. The condition is that fourth spatial derivatives of the family of parametrisations and of the velocity are bounded. To state it differently: at the end of the maximal time interval these quantities become unbounded if the interval is finite. Furthermore in that chapter we prove that the distance between two solutions grows at most exponentially if they are close to each other initially (Theorem 3.7). This estimate implies the uniqueness of solutions and gives a lower bound on the maximal time of existence. If one of the two solutions exists for all future times then the maximal time of existence of the other solution goes to infinity at least as fast as the negative logarithm of the initial distance between the solutions if this initial distance goes to zero. A similar stability estimate holds if the metric of the ambient manifold is close to the Euclidean metric (Theorem 3.10).

Diese Dissertation untersucht eine neue geometrische Flussgleichung, die die Bewegung geschlossener Hyperflächen in Riemannschen Mannigfaltigkeiten beschreibt. Ist die Hyperfläche sphärisch, kann diese Bewegungsgleichung als ein idealisiertes mathematisches Modell für die Bewegung einer Seifenblase betrachtet werden. Sie wird als Euler-Lagrange-Gleichung eines Wirkungsintegrals hergeleitet. Dieses enthält neben der kinetischen Energie auch Terme für die Oberflächenspannung und den Innendruck abhängig vom eingeschlossenen Volumen. Die resultierende Euler-Lagrange-Gleichung ist eine quasilineare entartete hyperbolische partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die extrinsisch die Bewegung einer Fläche beschreibt. Dieser Typ der Gleichung begründet das mathematische Interesse an der Untersuchung. Während die Einsteingleichungen zwar eine ähnliche Struktur haben, beschreiben diese jedoch die Evolution der Geometrie nur durch intrinsische Größen. Im Unterschied zu Wave-Maps ist die vorgestellte Gleichung nicht mehr semilinear, sondern quasilinear und entartet. Einführend leiten wir die Gleichung her, um anschließend grundlegende Eigenschaften wie Energie- und Impulserhaltung zu untersuchen. Als spezielle Lösungen dieser Gleichung finden wir Sphären mit oszillierendem Radius sowie Sphären, die zusätzlich mit konstanter Geschwindigkeit translatieren. Die Frage der Existenz einer Lösung für kurze Zeit wird in Kapitel 2 wie folgt beantwortet: Zu einer gegebenen glatten Immersion der Ausgangsmannigfaltigkeit und einer gegebenen glatten Anfangsgeschwindigkeit existiert für kurze Zeit eine glatte Lösung mit diesen Anfangsdaten. Der Beweis dieses Kurzzeitexistenzsatzes wird mit Hilfe des Satzes über inverse Funktionen von Nash und Moser geführt. In Kapitel 3 beweisen wir ein Fortsetzungskriterium (Theorem 3.1), das eine hinreichende Bedingung angibt, unter der eine Lösung auf ein größeres Zeitintervall fortgesetzt werden kann. Die Bedingung ist, dass die vierten räumlichen Ableitungen der Familie der Parametrisierungen der Flächen sowie der Geschwindigkeit beschränkt sind. Anders ausgedrückt: Ist das maximale Existenzintervall endlich, werden diese Größen zum Ende des Intervalls unbeschränkt. Darüber hinaus beweisen wir, dass der Abstand zweier Lösungen nicht schneller als exponentiell wächst, wenn die Anfangsdaten dicht beieinander liegen (Theorem 3.7). Aus dieser Abschätzung folgt die Eindeutigkeit von Lösungen der Gleichung und eine untere Schranke an die maximale Existenzzeit. Wenn eine der beiden Lösungen für unendliche Zeit existiert, dann wächst die Existenzzeit der anderen Lösung mindestens wie der negative Logarithmus des Abstands der Anfangsdaten, wenn dieser nach Null geht. Eine analoges Wachstum der Existenzzeit erhalten wir auch, wenn sich die Metrik des umgebenden Raumes der euklidischen Metrik annähert (Theorem 3.10).