Representation Stability for Configuration Spaces of Graphs

Abstract

For a finite graph G and a natural number n we study the homology of the configuration space Conf_n(G) of n particles in G. A graph is called a “tree with loops” if it can be constructed from a tree by taking the iterated wedge sum with copies of S^1 for different choices of base points. We prove that if G is a tree with loops then the homology of Conf_n(G) is torsion-free and generated by products of 1-dimensional classes. For general graphs G we give a generating set for the first homology group H_1(Conf_n(G)). Using these results and the techniques used in their proofs we then prove representation stability for specific sequences of configuration spaces of graphs given by either enlarging the graph or increasing the number of particles.

Für einen endlichen Graphen G und eine natürliche Zahl n untersuchen wir die Homologie des Konfigurationsraums Conf_n(G) von n Partikeln in G. Wir nennen einen endlichen Graphen einen “Baum mit Schleifen” wenn er durch Ankleben (per Wedge-Produkt an verschiedenen Basispunkten) von Kopien des Kreises S^1 an einen Baum konstruiert werden kann. Wir beweisen, dass für einen Baum mit Schleifen G die Homologie von Conf_n(G) torsionsfrei und erzeugt von Produkten 1-dimensionaler Homologieklassen ist. Für allgemeine Graphen G geben wir ein Erzeugendensystem für die erste Homologiegruppe H_1(Conf_n(G)) an. Mit diesen Resultaten und den in den Beweisen benutzten Techniken zeigen wir anschließend Darstellungsstabilität für bestimmte Folgen von Konfigurationsräumen von Graphen, welche entweder durch Vergrößerung des Graphen oder Erhöhung der Partikelanzahl definiert werden.