Global sensitivity analysis of ordinary differential equations: adaptive density propagation using approximate approximations

Abstract

Ordinary differential equations play an important role in the modeling of many real-world processes. To guarantee reliable results, model design and analysis must account for uncertainty and/or variability in the model input. The propagation of uncertainty & variability through the model dynamics and their effect on the output is studied by sensitivity analysis. Global sensitivity analysis is concerned with variations in the model input that possibly span a large domain. Two major problems that complicate the analysis are high- dimensionality and quality control, i.e. controlling the approximation error of the estimated output uncertainty. Current numerical approaches to global sensitivity analysis mainly focus on scalability to high-dimensional models. However, to what extent the estimated output uncertainty approximates the true output uncertainty generally remains unclear. In this thesis we suggest an error-controlled approach to global sensitivity analysis of ordinary differential equations. The approach exploits an equivalent formulation of the problem as a partial differential equation, which describes the evolution of the state uncertainty in terms of a probability density function. We combine recent advances from numerical analysis and approximation theory to solve this partial differential equation. The method automatically controls the approximation error by adapting both temporal and spatial discretization of the numerical solution. Error control is realized using a Rothe method that provides a framework for estimating temporal and spatial errors such that the discretization can be adapted accordingly. We use a novel technique called approximate approximations for the spatial discretization; it is the first time that these are used in the context of an adaptive Rothe scheme. We analyze the convergence of the method and investigate the performance of approximate approximations in the adaptive scheme. The method is shown to converge, and the theoretical results directly indicate how to design an efficient implementation. Numerical examples illustrate the theoretical results and show that the method yields highly accurate estimates of the true output uncertainty. Furthermore, approximate approximations have favorable properties in terms of readily available error estimates and high approximation order at feasible computational costs. Recent advances in the theory of approximate approximations, based on a meshfree discretization of the state space, promise that the applicability of the adaptive density propagation framework developed herein can be extended to higher-dimensional problems.

Gewöhnliche Differentialgleichungen nehmen eine essentielle Stellung in der mathematischen Modellierung ein. Als Voraussetzung für zuverlässige Resultate muss sowohl in der Modellbildung als auch in der Analyse des Modells der Einfluss von Unsicherheit und/oder Variabilität in den Eingabedaten berücksichtigt werden. Mit Hilfe von Sensitivitätsanalyse wird untersucht, wie sich Unsicherheit und Variabilität durch die Modelldynamik ausbreiten und sich somit auf die Ausgabedaten auswirken. Globale Sensitivitätsanalyse untersucht die Auswirkungen von Abweichungen in den Eingabedaten, die sich möglicherweise über den gesamten Zustandsraum erstrecken. Zwei Probleme, die die globale Analyse erschweren, sind hohe Dimensionen und eine Kontrolle der Genauigkeit, mit der die Ausgabeunsicherheit geschätzt wird. Die meisten numerischen Ansätze konzentrieren sich derzeitig darauf, die Analyse von hoch- dimensionalen Problemen effizienter zu gestalten. Inwiefern die geschätzte Ausgabeunsicherheit dabei der tatsächlichen Ausgabeunsicherheit entspricht, bleibt jedoch meist unklar. In dieser Arbeit wird ein neuer Ansatz zur globalen Sensitivitätsanalyse von gewöhnlichen Differentialgleichungen vorgestellt. Hauptmerkmal dieses Ansatzes ist eine adaptive Schätzung der Ausgabeunsicherheit, bei der der Approximationsfehler automatisch kontrolliert wird. Dafür bedienen wir uns einer äquivalenten Formulierung des Problems, in der die zeitliche Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsdichte der unsicheren Zustandsvariablen durch eine partielle Differentialgleichung beschrieben wird. Zur Lösung dieser Differentialgleichung kombinieren wir neue Ansätze aus Numerik und Approximationstheorie. Die hier vorgestellte Methode kontrolliert den Approximationsfehler, indem sowohl die Zeit- als auch die Ortsdiskretisierung angepasst wird. Wir verwenden ein Rothe-Verfahren, das einen angemessenen Kontext für die separate Schätzung von Zeit- und Ortsfehlern schafft, so dass die Diskretisierung entsprechend adaptiert werden kann. Für die Ortsdiskretisierung verwenden wir Approximate Approximations, eine neu eingeführte Approximationsmethode, die hier zum ersten Mal im Rahmen eines adaptiven Rothe-Verfahrens eingesetzt wird. Wir analysieren die Konvergenz des Verfahrens und untersuchen, wie sich Approximate Approximations für die adaptive Lösung der Ortsprobleme eignen. Wir zeigen, dass das Verfahren konvergiert. Darüber hinaus geben die theoretischen Resultate direkt Aufschluss darüber, wie eine effiziente Implementierung realisiert werden kann. Die Ergebnisse werden anhand von numerischen Beispielen illustriert, die auch zeigen, dass das Verfahren eine hohe Genauigkeit bei der Schätzung der Ausgabeunsicherheiten erzielt. Desweiteren erweisen sich Approximate Approximations als vorteilhaft innerhalb des adaptiven Verfahrens, da sowohl Fehlerschätzer als auch Approximationen hoher Ordnung zu vertretbaren Rechenzeiten verfügbar sind. Aktuelle Fortschritte in der Theorie von Approximate Approximations, beruhend auf einer gitterfreien Diskretisierung, lassen außerdem darauf hoffen, dass sich das in dieser Arbeit vorgestellte Konzept auch auf höher-dimensionale Probleme übertragen lässt.