A dissipative finite volume scheme for reaction-diffusion systems in heterogeneous materials

Abstract

The thesis consider systems of parabolic partial differential equations which model the relocation of chemical, electrically neutral species in heterogeneous materials induced by diffusion processes and chemical reactions. In particular the modeling of processes coming from chemical process engineering, for example processes which creates structures in semiconductor manufacturing, leads to reaction-diffusion systems with spatially dependent (nonsmooth) data. The investigations of the thesis are related to the Voronoi finite volume discretization in space and backward Euler discretization in time of such dissipative reaction-diffusion systems. In order to obtain a priori bounds and stability results of the discrete problem techniques are applied which are well established in the analysis of the continuous problem. The origin of studying the discrete evolution problem are physically inspired estimates of the discrete free energy which decays along trajectories of the discrete evolution system monotonously and exponentially to its equilibrium value. Under a assumption on the reaction order (Reactions of maximal quadratic source terms) the global existence of positive bounded solutions is proven. It is remarkable that the occurring constant only depend on the data and not on the mesh or the time step. Therefore anisotropic meshes are also included. Local existence of solutions of the discrete system is obtained under the natural assumption of quasi-positivity and conservation of number of atoms. In summary it was shown that all qualitative properties of the continuous problem (thermodynamic equilibrium, monotonous exponentially decay of the free energy, global upper and lower bounds) are also valid for the discretized problem. In addition, the convergence of the scheme is proven. A prototypical implementation of the method for the Michaelis-Menten-Henry reaction kinetic is provided. The aim is to preserve the physical properties of the calculated solution up to rounding errors over large time intervals. Examples of different complexity are considered in order to demonstrate robustness of the scheme and the application to real world problems. The examples are devoted to different phenomena of the scheme. During the calculations the properties of the scheme are valid up to rounding errors. Moreover, all timescales are resolved by the method, even if the front movement or the strong gradients in the direct neighborhood of interfaces are only roughly resolved.

Gegenstand der Arbeit sollen abgeschlossene Systeme von parabolischen partiellen Differentialgleichungen sein, welche die Umwandlung von chemischen, elektrisch neutralen Spezies in heterogenen Materialen beschreiben, welche durch Diffusion und reversiblen Reaktionen getrieben werden. Insbesondere die Modellierung von Prozessen der chemischen Verfahrenstechnik, wie sie zum Beispiel bei der Herstellung von Halbleitern in der Fotolithografie auftreten, führen auf Reaktions-Diffusionssysteme, die durch nicht glatte Daten im Orte gekennzeichnet sind. Der Beitrag dieser Arbeit betrifft die örtliche Voronoi Finite-Volumen und die zeitliche implizite Euler Diskretisierung solcher dissipativen Reaktions-Diffusionssysteme. Für den Beweis von Aussagen über die Stabilität von Lösungen und von a priori-Abschätzungen für die diskreten Lösungen werden Techniken in die diskrete Welt übertragen, die sich bereits beim Studium des kontinuierlichen Problems als zielführend herausgestellt haben. Den Ausgangspunkt bilden dabei Abschätzungen der diskreten Freienenergie, die entlang von Trajektorien des diskreten Problems monoton und exponentiell gegen ihren Gleichgewichtswert fällt. Unter zusätzlichen Annahmen an die Reaktionsordnung (Reaktionen mit maximal quadratischen Quelltermen) konnte die uniforme zeitlich globale Existenz von positiven Lösungen gezeigt werden. Ausdrücklich sei darauf hingewiesen, dass in beiden Fällen die auftretenden Konstanten unabhängig von der Güte des Voronoi-Gitters und vom Zeitschritt sind, womit auch anisotrope Gitter nicht ausgeschlossen sind. Die lokale Existenz von Lösungen des diskreten Problems konnte unter den natürlichen Voraussetzungen der Quasipositivität der Reaktionsterme und der Erhaltung der Atomzahl bewiesen werden. Zusammenfassend konnten alle qualitativen Eigenschaften des kontinuierlichen Systems (thermodynamisches Gleichgewicht, monotones und exponentielles Fallen der freien Energie, globale obere und untere Schranken) auch für das diskretisierte Problem nachgewiesen werden. Ein weiteres neues Resultat betrifft die Konvergenz des Schemas. Für das Beispiel der Michaelis-Menten-Henry-Kinetik wird eine prototypische Implementierung des Schemas aufgezeigt, bei der großen Wert auf die Erhaltung der theoretisch erzielten Eigenschaften über große Zeitintervalle gelegt wird. Um die Stabilität und Anwendbarkeit der Methode auf reale Problem zu demonstrieren werden verschiedene Beispiele mit Michaelis-Menten-Henry-Kinetik betrachtet, welche sich speziellen Eigenschaften der implementierten Methode widmen. In allen Beispielen sind während der Rechnungen die physikalischen Eigenschaften des Schemas bis auf Rundungsfehler auch über lange Zeitintervalle erhalten. Darüber hinaus löst das analysierte Verfahren die verschieden Zeitskalen des Systems auf, wenn auch wandernde Reaktionsfronten oder starke Gradienten, in der Nachbarschaft von Materialübergängen nur grob durch das Gitter approximiert sind.