Mean curvature flow of graphs with free boundaries

Abstract

In this thesis the chief object of study is the evolution of graphs under mean curvature flow with free boundaries. We study both the mean curvature flow of graphs with a prescribed angle condition on a fixed smooth hypersurface Σ in Euclidean space, and the same problem with a second boundary on which we prescribe a Dirichlet condition. The Neumann boundary condition requires that the unit normal vector field of the graph and that of the hypersurface Σ remain perpendicular. Our first set of results are concerned with radially symmetric graphs and here we prove, up to conditions imposed on the initial graph and Σ, either long time existence and convergence to minimal surfaces (in some cases functions with constant height), or development of a Type I curvature (and gradient) singularity. The second class of results we present treats one specific example. We consider the case where the contact surface Σ is the unit sphere in ℝ³, and study the motion of graphs perpendicular to the sphere and with zero height at a fixed radius from the sphere. In the case of reflective symmetric graphs we prove that the graph property is preserved for all times of existence. The next class of results is concerned with general graphs evolving by mean curvature flow in ℝ³ with either one free Neumann boundary or both a free Neumann boundary and an additional Dirichlet boundary. We present here a general method for obtaining height bounds and classify the gradient behaviour on the boundary. Using these, we obtain a long time existence result for the mean curvature flow with a free boundary outside a cylinder. In dimensions n ≥ 2, we also prove long time existence of initially convex (or concave) graphs over a half space supported perpendicularly on a hyperplane.

Die vorliegende Arbeit befasst sich in der Hauptsache mit der Evolution von Graphen unter dem mittleren Kruemmungsfluss mit freien Raendern. Wir betrachten sowohl den mittleren Kruemmungsfluss von Graphen mit einem vorgeschriebenen Winkel an einer festen glatten Hyperflaeche Σ im Euklidischen Raum, als auch das gleiche Problem mit einem zweiten Rand mit Dirichlet- Randbedingungen. Die Neumann-Randbedingung erfordert, dass die Einheitsnormalenvektorfelder des Graphen und der Hyperflaechen Σ senkrecht bleiben. Unsere ersten Resultate betreffen radialsymmetrische Graphen. In diesem Zusammenhang beweisen wir, dass bis auf Bedigungen an den Anfangsgraphen und Σ entweder Langzeitexistenz und Konvergenz zu Minimlaflaechen (in einigen Faellen Funktionen konstanter Hoehe) oder Entwicklung einer Typ I Kruemmungs- (und Gradienten-) Singularitaet erfolgt. Die zweite Klasse von Ergebnissen, welche wir praesentieren, befasst sich mit einem bestimmten Beispiel. Wir betrachten den Fall, wenn die Kontaktflaeche Σ die Einheitssphaere im ℝ³ ist, und betrachten die Bewegung von Graphen senkrecht zu der Sphaere und mit einer festen Hoehe bei einem festen Radius von der Sphaere. In dem Fall von spiegelsymmetrischen Graphen beweisen wir die Erhaltung der Grapheneigenschaft fuer alle Zeit der Existenz. Die naechsten Klasse von Ergebnissen betrifft allgemeine Graphen, die sich unter dem mittleren Kruemmungsfluss im ℝ³ entwickeln, mit entweder einem freien Neumann- Rand oder einem freien Neumann-Rand und einem zusaetzlichen Dirichlet-Rand. Wir praesentieren eine allgemeine Methode um Schranken an die Hoehe zu erhalten und klassifizieren das Verhalten des Gradienten am Rand. Unter Benutzung dieser erhalten wir ein Ergebnis zur Langzeitexistenz fuer den mittleren Kruemmungsfluss mit einem freien Rand außerhalb eines Zylinders. In hoeheren Dimensionen n≥ 2 beweisen wir auch Langzeitexistenz von anfangs konvexen (oder konkaven) Graphen ueber einem Halbraum senkrecht an einer Hyperflaeche.