f-Vector Spaces of Polytopes, Spheres, and Eulerian Lattices

Abstract

The present work deals with the f-vectors of d-polytopes and their generalisations such as (d-1)-spheres, (d-1)-manifolds, and Eulerian lattices of rank d+1. Describing the sets of all f-vectors of d-polytopes is one of the major open questions in discrete geometry. The small cases (d<=2) are easily solved, the case d=3 was settled by Steinitz in 1906, while the cases d>=4 remain open. Closely related to the question of determining the sets of f-vectors of d-polytopes is the question whether these sets are the same than the ones of spheres, manifolds or even Eulerian lattices. Especially the question of how the sets of f-vectors of polytopes and spheres behave to each other are intriguing, since there are many examples of non-polytopal spheres, but none of them gave an f-vector that does not occur for some polytope (cf. Introduction p. 5). Moreover, it is not so hard to show differences between the sets of f-vectors of polytopes and manifolds, resp. Eulerian lattices (Theorem 1.1.11). In this sense, Chapter 1 collects known inequalities for the sets of polytopes, spheres, and manifolds, with a focus on the case d=4. There I construct manifolds that have f-vectors that do not occur for polytopes (Theorem 1.1.11), as well as I prove some new inequalities for the sets of f-vectors of special classes of 3-spheres (Propositions 1.2.3 und 1.2.7, Lemma 1.2.8, and Corollary 1.2.9). Chapters 2 and 3 follow a different strategy to find differences between the sets of f-vectors of 4-polytopes and 3-spheres: I develope an algorithm that can enumerate all 3-manifolds with a given f-vector and use it to enumerate all 3-manifolds for a wide range of f-vectors (Table 2.3). With these results I finally show that there are some f-vectors for which there are spheres, but no polytopes (Theorem 3.2).

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit den f-Vektoren von 4-dimensionalen Polytopen und deren Verallgemeinerungen (3-Sphären/3-Mannigfaltigkeiten und Eulersche Verbände von Rang 5). Die Beschreibung der Menge aller f-Vektoren von d-Polytopen, d>=4 (der Fall d=3 wurde 1906 von Ernst Steinitz gelöst) ist eines der großen offenen Probleme der Diskreten Geometrie. Damit eng verbunden ist die Frage, ob 4-Polytope und 3-Sphären die gleichen Mengen von f-Vektoren haben, oder wo Unterschiede bestehen. Dies ist insbesondere deshalb spannend, da zwar schon lange bekannt ist, dass die Menge der kombinatorischen Typen von 3-Sphären echt größer ist als die Menge von kombinatorischen Typen von 4-Polytopen (vgl. Introduction S. 5), und es auch einfach zu zeigen ist, dass in höheren Dimensionen Mannigfaltigkeiten f-Vektoren haben können, die nicht bei Polytopen auftauchen (Theorem 1.1.11), es aber bisher noch kein Beispiel eines f-Vektors, der f-Vektor einer 3-Sphäre aber nicht eines 4-Polytops ist, gibt. Kapitel 1 beschäftigt sich mit Ungleichungen, die f{\"u}r die Menge der f-Vektoren (oder etwas spezieller der Menge der Fahnenvektoren) von Polytopen, Sphären und Mannigfaltigkeiten gelten. Dabei zeige ich, dass Mannigfaltigkeiten f-Vektoren haben können, die bei Polytopen nicht auftauchen (Theorem 1.1.11), sowie einige neue Ungleichungen für die Mengen der f-Vektoren, bzw. Fahnenvektoren, von speziellen Klassen von3-Sphären (Propositions 1.2.3 und 1.2.7, Lemma 1.2.8, und Corollary 1.2.9). Kapitel 2 und 3 verfolgen eine andere Strategie, um Unterschiede in den Mengen der f-Vektoren von 4-Polytopen und 3-Sphären zu zeigen: ich stelle einen Algorithmus vor, mit dem alle 3-Mannigfaltigkeiten mit gegebenem f-Vektor enumeriert werden können, und bei einigen von ihnen zeige ich, dass alle Sphären mit diesem f-Vektor nichtpolytopal sind. Das heißt, ich beweise, dass die Menge der f-Vektoren von 4-Polytopen eine echte Teilmenge derjenigen von f-Vektoren von 3-Sphären ist (Theorem 3.2).