Adaptive Methods for the Darcy Equation with Stochastic Input Data

Abstract

Partial differential equations with stochastic data are used to model insecurities and insufficient knowledge of the properties in the physical domain. In this thesis, the stationary Darcy equation is used as an example as it is only feasible to measure the subsurface domain properties in a limited amount of locations. As such the permeability coefficient is assumed to be stochastic. Sampling methods constitute a major class of algorithms to numerically approximate the solution of such models as they integrate well into existing discrete finite element frameworks and theoretical results can be achieved without regard to the underlying spacial discretization. Furthermore, the main advantage of the Monte Carlo method is the stochastic dimension independent convergence rate of $1/2$ with respect to the number of samples. This fundamental result from the central limit theorem cannot be improved upon so the computational cost of the samples needs to be reduced. A recent approach is the multilevel Monte Carlo method, which computes the majority of samples on coarser grids in some mesh hierarchy and thus reducing their cost. We propose mesh adaptive algorithms similar to those in the deterministic setting to further reduce the cost of individual samples. We propose solutions to emerging problems in the determination of optimal control parameters in the Monte Carlo and multilevel Monte Carlo method when used with non uniform meshes in the form of heuristical a~posteriori approximations. Additionally, bounds are presented that control the error with a prescribed probability. For a fully dimension independent approach for higher-dimensional physical domains with rough random input fields we explore an approach using a model representation with some stochastic ordinary equation. Adaptive methods are presented that allow for independent stochastic and spatial adaptivity together with heuristics for optimal control parameters.

Das Stichprobenverfahren, auch bekannt als Monte-Carlo-Methode, ist ein robuster Ansatz zum Lösen von partiellen Differentialgleichungen mit stochastischen Koeffizienten, welcher sich gut für bereits existierende Finite-Elemente- oder Finite-Volumen-Implementationen der entsprechenden deterministischen Differentialgleichung adaptieren lässt. Der Hauptvorteil dieses Verfahrens liegt in der dimensionsunabhängigen Konvergenzrate von $1/2$ bezüglich der verwendeten Stichproben, welche sich aus dem zentralen Grenzwertsatz ergibt. Dies ist sogleich der größte Schwachpunkt. Daher ist es ein zentrales Anliegen aktueller Ansätze die Berechnungskosten der einzelnen Stichproben zu reduzieren. Das Multilevel-Monte-Carlo-Verfahren bietet hierfür einen der vielversprechendsten Ansätze. Diese Arbeit hat drei Ziele. Zum ersten sollen die Kosten für die Stichproben sowohl im Monte-Carlo-Verfahren als auch im Multilevel-Monte-Carlo-Verfahren weiter durch den Einsatz von adaptiven Gitterhierarchien verbessert werden. Dabei werden Lösungsstrategien für die auftretenden Probleme beim Ermitteln von optimalen Parametern für das Verfahren vorgeschlagen. Eine fundamentale Eigenschaft des Stichprobenverfahrens ist die Unsicherheit des numerischen Ergebnisses, da es sich wiederum um eine Zufallsgröße handelt. Daher ist das zweite Ziel dieser Arbeit das Finden von Schranken, welche mit einer gewählten Wahrscheinlichkeit den numerischen Fehler beschränken um somit verlässliche Aussagen über die zu berechnende Größe treffen zu können. Zuletzt soll eine alternative Methode untersucht werden, welche die Dimensionsabhängigkeit von der Finite-Elemente- Diskretisierung des physikalischen Gebietes auflöst, indem sie hier ebenfalls eine Zufallsvariable zur Modellierung mithilfe einer stochastischen gewöhnlichen Differentialgleichung verwendet. Adaptive Methoden werden auch hier die Stichprobenkosten reduzieren. Numerische Tests belegen die Verbesserungen der vorgeschlagen Methoden.