Some Basic Boundary Value Problems for Complex Partial Differential Equations in Quarter Ring and Half Hexagon

Abstract

This dissertation is devoted to the investigation of some boundary value problems for complex partial differential equations in a quarter ring and a half hexagon. The method of reflection is used among the main tools to obtain the Schwarz-Poisson representation formula and the harmonic Green function for both domains. For the quarter ring the related Schwarz, Dirichlet and Neumann problems for the Cauchy-Riemann equation are solved explicitly. From the harmonic Green function for this domain the Neumann function is derived satisfying certain prescribed properties. By use of the Green and Neumann functions the corresponding Dirichlet and Neumann problems for the Poisson equation are solved. Similarly, using the reflection points the Schwarz- Poisson representation formula is found for the half hexagon and the solution of the Schwarz problem for the Cauchy-Riemann equation is provided. The harmonic Green function obtained for this domain allows to solve the related harmonic Dirichlet problem. Due to the fact that both domains are non-regular, special attention is paid to the boundary behavior in the corner points.

Diese Doktorarbeit ist der Untersuchung von einigen Grenzwertproblemen für komplexen partielle Differenzgleichungen im Viertelkreis und im Halbsechseck gewidmet. Unter den Hauptwerkzeugen wird die Methode der Reflexion verwendet, um die Schwarz-Poissonsche Darstellungsformel und die harmonische Green Funktion für beide Gebiete zu erhalten. Für den Viertelkreis werden die entsprechenden Schwarz, Dirichlet und Neumann Probleme für die Cauchy- Riemannsche Gleichung ausführlich gelöst. Von der harmonischen Green Funktion für dieses Gebiet wird die Neumann Funktion, die bestimmte vorgeschriebene Eigenschaften erfüllt, abgeleitet. Durch den Gebrauch der Green und Neumann Funktionen werden die ensprechenden Dirichlet und Neumann Probleme für die Poissonsche Gleichung gelöst. Analog, wird durch den Gebrauch der Reflexionpunkte die Schwarz-Poissonsche Darstellungsformel für das Halbsechseck gefunden und die Lösung des Schwarz Problems für die Cauchy- Riemannsche Gleichung gestellt. Für dieses Gebiet wird die harmonische Green Funktion erhaltet. Diese Funktion ermöglicht, das entsprechende harmonische Dirichlet Problem zu lösen. Weil beide Gebiete nichtregelmäßig sind, wird das Grenzverhalten in den Eckpunkten spezielle Aufmerksamkeit geschenkt.