Spaces of convex n-partitions

Abstract

We begin with some basic notions and results of convex geometry that we need, as polyhedra, cones, spherical polyhedra, hyperplane arrangements and CW- complexes. In Chapter 3 we introduce convex n-partitions and we prove that all the regions of a partition must be polyhedral. Then we define some related notions, such as spherical partitions and the face structure, and prove some basic facts about them. In Chapter 4 we look at the space C(R^d, n) of all convex n-partitions of R^d, describing the metric structure there that fixes the topology of the space and also a natural compactification C(R^d, ≤n) where empty regions are allowed. Then we prove that spaces of n-partitions are union of semialgebraic pieces in two different ways. We look at hyperplane arrangements carrying an n-partition, and give a description of C(R^d, n) where the pieces depend on the hyperplanes used to obtain the partition (Theorem 4.14). For the second description we need to introduce nodes and node systems that are a generalization of the vertices, and define the combinatorial type of a partition. These combinatorial types give the semialgebraic pieces that build the spaces (See Theorem 4.47). At the end of the chapter we describe explicitly particular spaces of n-partitions of R^d and their compactifications for n = 2 and also for d = 1. In Chapter 5 we talk about regular partitions and mention some known results about them. Using these results we compute the dimension of the space of regular partitions Creg(R^d, n). Then we prove a universality theorem that says that realization spaces of regular partitions can be stably equivalent to any primary basic semialgebraic set. In Chapter 6 we investigate the dimensions of realization spaces. We first study the case d = 2 and find that for large n the dimension of C(R^2, n) is much bigger than dim(Creg(R^2, n)). Then we focus on the case d = 3, where we conjecture that the dimension of C(R^3, n) is equal to the dimension of Creg(R^3, n) and try to justify this with a heuristic counting for the dimension of each realization space. From this counting we find an incidence theorem for 3-polytopes and find many examples of partitions where this counting works. In Chapter 7 we introduce the spaces of equipartitions Cequi(R^d, n, µ) given a positive bounded measure µ. We explore the topological structure of some small cases of spaces of equipartitions and using this, we describe the spaces of n-partitions for d = 2 and n = 3. We also discuss the Nandakumar and Ramana Rao problem and different equivariant maps that show that considering regular equipartitions is as good as considering all equipartitions with respect to the approach based on configuration spaces to find fair partitions. We end by listing some further questions that for now remain open.

Wir betrachten den Raum $\C(\R^d,n)$ aller Aufteilungen von $\R^d$ in $n$ konvexe Gebiete für positive $d$ und $n$. Dafür entwickeln wir grundlegende Konzepte und Definitionen, untersuchen allgemeine Eigenschaften und betrachten verwandte Räume sowie Beispiele. Zunächst entwickeln wir dafür die benötigten Konzepte der Konvexgeometrie. In Kapitel 3 definieren wir konvexe $n$-Aufteilungen und zeigen, dass die Teile immer Polyeder sind. Dann definieren wir sphärische Aufteilungen und Seitenhalbordnungen und leiten grundlegende Strukturergebnisse ab. Kapitel 4 beschäftigt sich mit dem Raum $\C(\R^d,n)$ aller konvexen $n$-Aufteilungen des~$\R^d$. Wir beschreiben eine Metrik und damit eine Topologie auf diesem Raum, sowie eine natürliche Kompaktifizierung $\C(\R^d,\le\\! n)$, für die auch leere Teile erlaubt sind. Wir stellen den Raum der $n$-Aufteilungen dann auf zwei Weisen als eine Vereinigung von semialgebraischen Teilmengen dar: Wir betrachten Hyperebenenarrangements, die Auf\\-teilungen induzieren, und beschreiben $\C(\R^d,n)$ so in Abhängikeit von den Hyperebenen, die die Aufteilung erzeugen. Für die zweite Beschreibung führen wir Knoten und Knotensysteme ein, die Eckenmengen verallgemeinern, und definieren den kombinatorischen Typ einer Aufteilung. Diese kombinatorischen Typen ergeben semialgebraische Teile, aus denen die Räume aufgebaut sind (Theorem \ref{semialgebraic}). Am Ende des Kapitels beschreiben wir wir explizit die Räume der $n$-Aufteilungen von $\R^d$ und ihre Kompaktifizierungen für $n=2$ und für $d=1$. In Kapitel 5 diskutieren wir reguläre Aufteilungen. Wir berechnen die Dimension des Raums der regulären Aufteilungen $\C_{\reg}(\R^d,n)$. Dann beweisen wir einen Universalitätssatz, wonach die Realiserungsräume regulärer Partitionen zu beliebigen primären basischen semialgebraischen Mengen stabil äquivalent sein können. In Kapitel 6 untersuchen wir die Dimension von Realisierungsräumen. Im Fall $d=2$ ist die Dimension von $\C(\R^{2},n)$ für große $n$ viel größer als $\dim (\C_{\reg}(\R^{2},n))$. Dann konzentrieren wir uns auf den Fall $d=3$, wo wir vermuten, dass die Dimension von $\C(\R^{3},n)$ mit der Dimension von $\C_{\reg}(\R^{3},n)$ übereinstimmt, und versuchen das mit einer Heuristik für die Zahl der Freiheitsgrade und damit der Dimensionen der Realisierungsräume zu untermauern. In Kapitel 7 führen wir die Räume von Äquipartitionen $\C^{\equi}(\R^d,n,\mu)$ für beschränkte positive Maße $\mu$ ein. Wir untersuchen die topologische Struktur für einige kleine Fälle und beschreiben, darauf aufbauend, die Räume der $n$-Äquipartitionen für $d=2$ und $n=3$. Wir diskutieren auch das Problem von Nandakumar und Ramana Rao über "faire Aufteilungen von Polygonen'' und verschiedene äquivariante Abbildungen, die zeigen, dass es für dieses Problem ausreicht, reguläre Äquipartitionen zu betrachten.