A blended semi-implicit numerical model for weakly compressible atmospheric dynamics

Abstract

Physical processes in the atmosphere develop on a wide range of spatial and temporal scales. Meteorologically relevant phenomena move at speeds much lower than that of sound waves. The latter, despite their unimportance in weather and climate studies, enforce the use of very small time steps in explicit discretizations of the fully compressible equations. Traditionally, the problem has been analytically tackled using reduced formulations – anelastic and pseudo-incompressible models on the small scales, hydrostatic models on large scales – that lack the terms that generate acoustics. Alternatively, fully compressible equations have been solved with split-explicit or semi- implicit numerical methods free of acoustic-dependent stability constraints. However, most existing approaches in this context resort to various forms of numerical filtering to achieve stability at the expense of accuracy. The present study discusses a semi-implicit fully compressible numerical model for the simulation of low-speed flows in the atmosphere. The second-order accurate finite volume scheme extends a projection method for the pseudo-incompressible model and agrees with it by construction in the small-scale limit. Unlike most numerical approaches in meteorology, equations are solved in non- perturbational form and in terms of the thermodynamic pressure variable. Quantities are advanced in time in an explicit advection step limited by a stability threshold independent of sound speed. Compressibility is handled implicitly in a correction step that solves two elliptic problems for the pressure increments. Well-balancing techniques are used to discretize buoyancy without reference to a hydrostatically balanced background state. Convergence properties are evaluated on the advection of a smooth vortex and compressibility effects are assessed on the case of a simple acoustic wave. Then, we test the ability of the scheme to accurately simulate gravity-driven flows with large time steps on thermal benchmarks in neutrally and stably stratified atmospheres. Obtained numerical solutions are found to be in line with published work. Equations are then cast in a blended soundproof- compressible multimodel formulation allowing for controlled introduction of compressibility in the scheme. In a unified and uniformly accurate numerical framework, the blending feature is employed to filter acoustic perturbations in the initial stages of thermal simulations. The technique can find application in a data assimilation context, enabling on-the-fly incorporation of unbalanced data in the numerical model. The proposed extension to an implicit treatment of buoyancy envisages the use of the scheme as a flexible tool for the simulation of multiscale atmospheric flows.

Atmosphärische Strömungen entfalten sich über ein breites Spektrum von Zeit- und Raumskalen. Prozesse von meteorologischer Bedeutung haben geringe Geschwindigkeiten im Vergleich zu Schallwellen, welche trotz ihres in Wetter- und Klimastudien unerheblichen Beitrags die Effizienz expliziter vollkompressibler Modelle auf sehr kleine Zeitschritte beschränken. Im Allgemeinen wird das Problem durch approximierte Formulierungen wie anelastische und pseudo-inkompressible Modelle auf kleinen Skalen und hydrostatische Modelle auf großen Skalen analytisch angegangen, wobei die für die akustischen Störungen verantwortlichen Terme fehlen. Ansonsten können numerische split-explizite oder semi-implizite Verfahren auf die vollkompressiblen Gleichungen angewandt werden, um die Schallgeschwindigkeitsbedingte Stabilitätseinschränkung zu umgehen. Dennoch greifen in diesem Kontext etablierte Ansätze auf verschiedene Arten von numerischer Dämpfung zurück, welche sich zwangsläufig auf die Genauigkeit auswirken. Diese Studie betrachtet ein semi-implizites vollkompressibles numerisches Verfahren zweiter Genauigkeitsordnung für die Simulation atmosphärischer Strömungen mit geringer Geschwindigkeit. Die Diskretisierung erweitert ein Projektionsverfahren für das pseudo-inkompressible Modell, mit dem sie im kleinskaligen Limes übereinstimmt. Im Gegensatz zu den meisten existierenden Formulierungen wird das Gleichungssystem mithilfe des thermodynamischen Drucks formuliert und wird nicht in Störungsform verfasst. Ein expliziter Schritt mit schallgeschwindigkeitsunabhängiger Stabilitätsbedingung bringt die Variablen über einen Zeitschritt voran, woraufhin zwei elliptische Probleme für die Druckinkremente in einem impliziten Schritt gelöst werden. Der Auftriebsterm wird mit well-balancing Methoden ohne Bezug auf ein hydrostatisches Profil behandelt. Die Konvergenzeigenschaften werden an der Advektion eines glatten Wirbels geprüft und Kompressibilitätseffekte anhand einer akustischen Welle bewertet. Die Leistung des Verfahrens wird im Bereich von Simulationen schwerkraftgetriebener thermischer Luftblasen mit langen Zeitschritten in neutral- und stabilgeschichteten Atmosphären gemessen. In Bezug auf veröffentlichte Arbeiten schneiden die vorhandenen Ergebnisse vergleichsweise gut ab. Anschließend wird das System in gemischter schalldichter/kompressibler Form dargestellt, was ein kontrolliertes Einführen von Kompressibilität ermöglicht und in einem einheitlichen und uniform genauen Rahmen für die Dämpfung akustischer Wellen beim Ansetzen der thermischen Störungen am Anfang einer Simulation gebraucht wird. Außerdem kann die Methode in Daten- Assimilierung dadurch Anwendung finden, dass unbalancierte Messdaten in das numerische Modell ohne Neustart des Codes einbezogen werden können. Die vorgeschlagene Erweiterung für die implizite Behandlung des Auftriebsterms sieht den Gebrauch des Verfahrens als anpassungsfähiges Mittel für die Simulation mehrskaliger atmosphärischer Strömungen vor.