New Applications of Topological Methods in Discrete Geometry

Abstract

In this dissertation we present new applications of topological methods to problems in discrete geometry. The topological proof strategy we use goes back to Lovász' 1978 proof of the Kneser conjecture: reduce the question of whether a geometric statement is true to the nonexistence of an equivariant map between a test space and a configuration space, where both spaces have the same non-trivial group acting on them. The introduction (Chapter 1) is followed by two chapters in which the topological proof strategy is applied to the Grünbaum--Hadwiger--Ramos hyperplane mass partition problem, which is due to Grünbaum, Hadwiger, and Ramos: Given positive integers j,k the problem asks for the smallest dimension d such that any choice of j convex bodies in R^d or, more generally, any choice of j absolutely continuous finite Borel measures on R^d can be cut into 2^k equal pieces by k hyperplanes. In Chapter 2 we give a critical review of the progress that has been made on the Grünbaum --Hadwiger--Ramos hyperplane mass partition problem and point out mistakes and gaps in the recent articles. This shows that the problem is still wide open. The main new result of Chapter 2 is a correct solution of the problem in the case of two hyperplanes and 2^t+1 measures. It is obtained by a degree calculation of a restriction of the test map. In Chapter 3 we use a different approach based on relative equivariant obstruction theory to verify the solutions of the problem in the cases of two hyperplanes and 2^t-1 respectively 2^t +1 measures and obtain a correct solution of the problem in the case of two hyperplanes and 2^t measures. We also obtain solutions in the cases of three hyperlanes and two respectively four measures. In Chapter 4 we study the problem, to what extent the well-known variant of the topological proof strategy based on the connectivity of the configuration space and a theorem by Dold can be used to answer the question, when a matroid (viewed as a simplicial complex) can be mapped to R^d such that the images of no k pairwise disjoint faces intersect. An answer to this question would give rise to a Tverberg-type theorem for matroids. Our main result is a counterexample to a conjecture by Bárány, Kalai, and Meshulam concerning the connectivity of one of the two possible configuration spaces. Furthermore, we establish the connectivity of the other possible configuration space. Finally, we prove a tight Tverberg-type theorem for the family of matroids arising as counterexamples. Together, our results imply that the topological proof strategy based on the connectivity of the configuration space and Dold's thoerem does not lead to an optimal Tverberg-type result in the case of matroids.

In dieser Dissertation werden neue Anwendungen von topologischen Methoden auf Probleme der diskreten Geometrie entwickelt. Die verwendete und untersuchte topologische Lösungsstrategie geht auf Lovász' bahnbrechende Arbeit aus dem Jahr 1978 zurück und gestaltet sich wie folgt: Man reduziere die Frage der Richtigkeit der geometrischen Aussage auf die Frage der Nicht-Existenz einer equivarianten Abbildung zwischen einem Konfigurationsraum und einem Testraum, auf die jeweils diselbe nicht-triviale Gruppe wirkt. Der Einleitung (Kapitel 1) folgen zwei Kapitel, die sich mit der Anwendung von Varianten der topologischen Lösungsstrategie auf das "Grünbaum--Hadwiger--Ramos hyperplane mass partition problem beschäftigen", das auf Grünbaum, Hadwiger und Ramos zurückgeht. In diesem Problem geht es um die Frage nach der kleinsten Dimension, in der sich bei beliebig vorgegebenen positiven natürlichen Zahlen j,k jede Wahl von j konvexen Körpern, oder allgemeiner absolutstetigen endlichen Borelmaßen, durch k Hyperebenen in 2^k gleich große Teile zerlegen lassen. In Kapitel 2 werden der Fortschritt in Bezug auf dieses in weiten Teilen ungelöste Problem kritisch beleuchtet und Fehler sowie Beweislücken in einigen bekannten Aufsätzen der letzten Jahre aufgedeckt. Das wesentliche neue Resultat dieses Kapitels ist ein korrekter Beweis für den Fall von zwei Hyperebenen und 2^t+1 Maßen. Der im Beweis verwendete Ansatz basiert auf einer Grad-Berechnung. In Kapitel 3 wird ein anderer Ansatz der topologischen Lösungsstrategie basierend auf relativer equivarianter Hindernistheorie verfolgt, mit dem die bereits bekannten Lösungen in den Fällen von zwei Hyperebenen und 2^t -1 Maßen und zwei Hyperebenen und 2^t+1 Maßen bestätigt werden, sowie erstmals für den Fall von zwei Hyperebenen und 2^t Maßen ein korrekter Beweis geliefert wird. Zwei weitere neue Lösungen für den Fall von drei Hyperebenen und zwei sowie vier Maßen werden erarbeitet. Kapitel 4 beschäftigt sich mit der Anwendung einer bekannten Variante der topologischen Lösungsstrategie, die auf den topologischen Zusammenhangseigenschaften des Konfigurations- und Testraums und einem Satz von Dold basiert, auf das Problem, ob sich ein Matroid (aufgefasst als Simplizialkomplex) stetig in den d-dimensionalen Raum abbilden lässt, ohne dass sich k paarweise disjunkte Seitenflächen im Bild schneiden. Dieses Problem kann als Frage aufgefasst werden, ob bzw. wie sich das "topological Tverberg theorem" auf Matroide erweitern lässt. Hauptresultate dieses Kapitels sind die Widerlegung einer Vermutung von Bárány, Kalai und Meshulam bezüglich des topologischen Zusammenhangs eines der beiden möglichen Konfigurationsräume und die Berechnung des topologischen Zusammenhangs des anderen Konfigurationsraums. Ferner wird an einem Beispiel gezeigt, dass die Variante der Lösungsstrategie basierend auf dem Satz von Dold im Fall von Matroiden nicht zu optimalen Ergebnissen führt.