dc.contributor.author
Schell, Christian
dc.date.accessioned
2018-06-07T21:26:38Z
dc.date.available
2018-02-05T08:56:02.433Z
dc.identifier.uri
https://refubium.fu-berlin.de/handle/fub188/7902
dc.identifier.uri
http://dx.doi.org/10.17169/refubium-12101
dc.description
Abstract 1\. Introduction and overview 2\. Differential equations and
numerical methods 2.1. Introduction 2.2. Ordinary differential equations 2.3.
Partial differential equations 2.4. The spatial derivatives 2.5. Laplace
operator for spherical coordinates 2.6. Wave equation in spherical coordinates
3\. General relativity and its Cauchy formulation 3.1. Introduction 3.2.
General relativity 3.3. Cauchy formulation of general relativity 3.4. Initial
data for Einstein’s constraint equations 3.5. Symmetry-reduced situations in
general relativity 4\. Vacuum axisymmetry in spherical coordinates 4.1.
Introduction 4.2. Axisymmetry and implications 4.3. Gauges in axisymmetry 4.4.
Choice of variables 4.5. Formulation of Einstein’s equations 4.6. Exact
solution to the linear problem 4.7. Some analysis of Einstein’s equations 5\.
Numerical studies in vacuum axisymmetry 5.1. Introduction 5.2. Implementation
and basic verification 5.3. The linear mode level 5.4. The linear
2+1-dimensional level 5.5. The nonlinear level 6\. Conclusion and outlook A.
Appendix A.1. Supplementary mathematical material A.2. Nonlinear evolution
equations A.3. Nonlinear constraints A.4. Explicit form of the exact regular
solution for l = 2 A.5. Nonlinear initial data for the momentum constraint
Acknowledgments Zusammenfassung Selbständigkeitserklärung Curriculum vitae
Bibliography Index
dc.description.abstract
This thesis documents our study of Einstein’s vacuum equations in spherical
polar coordinates. Open questions in this setting concern applications like
the understanding of gravitational collapse and conceptual matters such as the
handling of the occurring coordinate singularity. We answer the conceptual
aspects and demonstrate how they can be implemented numerically. Our choice of
coordinates allows a spectral approach. As basis functions we employ spin-
weighted spherical harmonics. For most derivations and applications we assume
hypersurface-orthogonal axisymmetry. This assumption leads to computational
simplifications but is not a conceptual limitation. We examine the
eigenfunctions of the Laplace operator in spherical coordinates for quantities
with different spin-weights and derive the consequences. A systematic
investigation of the scalar wave equation in these coordinates leads to
helpful insights for the regularization of the coordinate singularity at the
origin and we confirm this numerically. We show that a common gauge choice in
axisymmetry is inappropriate for the expansion in spin-weighted harmonics and
discuss alternatives. We derive Einstein’s equations in axisymmetry in an
appropriate gauge and solve the linearized equations exactly. A recent
formulation of Einstein’s constraint equations regards them as an evolutionary
system. We analyze the full set of equations and introduce modifications that
allow us to derive two sets of locally well-posed problems. Our numerical
implementation uses a hybrid discretization consisting of finite difference
techniques and the pseudo-spectral method. We simulate the derived equations
and present a successful implementation of the parabolic-hyperbolic
formulation of the nonlinear constraints. To do so we derive several
possibilities to obtain initial data at the regular origin. We demonstrate
further that our implementation is able to reproduce the exact linear solution
in a fully constrained scheme. The results obtained in this thesis offer a
possible solution how to simulate Einstein’s vacuum equations numerically in
spherical polar coordinates with a regular origin. We present one of the first
numerical studies of an evolutionary constraint solver.
de
dc.description.abstract
Die vorliegende Dissertation dokumentiert unsere Studien von Einsteins
Vakuumgleichungen in sphärischen Polarkoordinaten. Offene Fragen dieser
Situation betreffen sowohl Anwendungen wie gravitativer Kollaps als auch
konzeptionelle Belange wie die Handhabung der auftretenden
Koordinatensingularität. Wir beantworten die konzeptionellen Aspekte und
zeigen, wie diese numerisch implementiert werden können. Unsere
Koordinatenwahl erlaubt einen spektralen Ansatz. Als Basisfunktionen verwenden
wir Kugelflächenfunktionen mit Spin-Gewichtung. Für die meisten Ableitungen
und Anwendungen nehmen wir hyperflächen-orthogonale Axialsymmetrie an. Die
Annahmen führen zu rechnerischen Vereinfachungen, stellen aber keine
konzeptionelle Limitierung dar. Wir untersuchen die Eigenfunktionen des
Laplace-Operators in sphärischen Koordinaten für Größen mit verschiedenen
Spin-Gewichtungen und leiten die Konsequenzen ab. Eine systematische
Erforschung der skalaren Wellengleichung in diesen Koordinaten führt zu
hilfreichen Einsichten zur Regularisierung der Koordinatensingularität am
Ursprung, und wir bestätigen diese numerisch. Wir zeigen, weshalb eine gängige
Eichwahl in Axialsymmetrie ungeeignet für die Entwicklung in spin-gewichteten
Kugelflächenfunktionen ist und diskutieren Alternativen. Wir leiten die
axialsymmetrischen Einsteingleichungen in geeigneter Eichung her und lösen die
linearisierten Gleichungen analytisch. Eine neuartige Formulierung von
Einsteins Zwangsbedingungen stellt diese als evolutionäres System dar. Wir
analysieren das gesamten System an Gleichungen und führen Modifikationen ein,
die uns erlauben, zwei Sätze an lokal wohlgestellten Problemen zu formulieren.
Unsere numerische Implementierung benutzt eine hybride Diskretisierung
bestehend aus Techniken der finiten Differenzen und der Pseudo-
Spektralmethode. Wir simulieren die hergeleiteten Gleichungen und präsentieren
eine erfolgreiche Implementierung der parabolisch-hyperbolischen Formulierung
der nichtlinearen Zwangsbedingungen. Dafür leiten wir mehrere Möglichkeiten
her, um die Anfangswerte am regulären Ursprung zu erhalten. Wir demonstrieren
weiterhin, dass unsere Implementierung in der Lage ist, die exakte lineare
Lösung unter Berücksichtigung aller Zwangsbedingungen zu reproduzieren. Die in
dieser Dissertation erhaltenen Resultate weisen eine mögliche Lösung auf, wie
Einsteins Vakuumgleichungen numerisch in sphärischen Polarkoordinaten mit
regulärem Ursprung simuliert werden können. Wir präsentieren eine der ersten
numerischen Studien eines evolutionären Lösers der Zwangsbedingungen.
de
dc.format.extent
ix, 272 Seiten
dc.rights.uri
http://www.fu-berlin.de/sites/refubium/rechtliches/Nutzungsbedingungen
dc.subject
Relativität, Gravitation
dc.subject
Axialsymmetrie
dc.subject.ddc
500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik::518 Numerische Analysis
dc.subject.ddc
500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik::515 Analysis
dc.title
Spectral approach to the axisymmetric evolution of Einstein’s vacuum equations
dc.contributor.contact
christian.schell@aei.mpg.de
dc.contributor.firstReferee
Prof. Dr. Oliver Rinne
dc.contributor.furtherReferee
Prof. Dr. Jörg Frauendiener
dc.date.accepted
2017-12-14
dc.identifier.urn
urn:nbn:de:kobv:188-fudissthesis000000106393-3
dc.title.translated
Spektraler Zugang zu Einsteins axialsymmetrischen Vakuumgleichungen
de
refubium.affiliation
Mathematik und Informatik
de
refubium.mycore.fudocsId
FUDISS_thesis_000000106393
refubium.mycore.derivateId
FUDISS_derivate_000000023209
dcterms.accessRights.dnb
free
dcterms.accessRights.openaire
open access