Spectral approach to the axisymmetric evolution of Einstein’s vacuum equations

Abstract

This thesis documents our study of Einstein’s vacuum equations in spherical polar coordinates. Open questions in this setting concern applications like the understanding of gravitational collapse and conceptual matters such as the handling of the occurring coordinate singularity. We answer the conceptual aspects and demonstrate how they can be implemented numerically. Our choice of coordinates allows a spectral approach. As basis functions we employ spin- weighted spherical harmonics. For most derivations and applications we assume hypersurface-orthogonal axisymmetry. This assumption leads to computational simplifications but is not a conceptual limitation. We examine the eigenfunctions of the Laplace operator in spherical coordinates for quantities with different spin-weights and derive the consequences. A systematic investigation of the scalar wave equation in these coordinates leads to helpful insights for the regularization of the coordinate singularity at the origin and we confirm this numerically. We show that a common gauge choice in axisymmetry is inappropriate for the expansion in spin-weighted harmonics and discuss alternatives. We derive Einstein’s equations in axisymmetry in an appropriate gauge and solve the linearized equations exactly. A recent formulation of Einstein’s constraint equations regards them as an evolutionary system. We analyze the full set of equations and introduce modifications that allow us to derive two sets of locally well-posed problems. Our numerical implementation uses a hybrid discretization consisting of finite difference techniques and the pseudo-spectral method. We simulate the derived equations and present a successful implementation of the parabolic-hyperbolic formulation of the nonlinear constraints. To do so we derive several possibilities to obtain initial data at the regular origin. We demonstrate further that our implementation is able to reproduce the exact linear solution in a fully constrained scheme. The results obtained in this thesis offer a possible solution how to simulate Einstein’s vacuum equations numerically in spherical polar coordinates with a regular origin. We present one of the first numerical studies of an evolutionary constraint solver.

Die vorliegende Dissertation dokumentiert unsere Studien von Einsteins Vakuumgleichungen in sphärischen Polarkoordinaten. Offene Fragen dieser Situation betreffen sowohl Anwendungen wie gravitativer Kollaps als auch konzeptionelle Belange wie die Handhabung der auftretenden Koordinatensingularität. Wir beantworten die konzeptionellen Aspekte und zeigen, wie diese numerisch implementiert werden können. Unsere Koordinatenwahl erlaubt einen spektralen Ansatz. Als Basisfunktionen verwenden wir Kugelflächenfunktionen mit Spin-Gewichtung. Für die meisten Ableitungen und Anwendungen nehmen wir hyperflächen-orthogonale Axialsymmetrie an. Die Annahmen führen zu rechnerischen Vereinfachungen, stellen aber keine konzeptionelle Limitierung dar. Wir untersuchen die Eigenfunktionen des Laplace-Operators in sphärischen Koordinaten für Größen mit verschiedenen Spin-Gewichtungen und leiten die Konsequenzen ab. Eine systematische Erforschung der skalaren Wellengleichung in diesen Koordinaten führt zu hilfreichen Einsichten zur Regularisierung der Koordinatensingularität am Ursprung, und wir bestätigen diese numerisch. Wir zeigen, weshalb eine gängige Eichwahl in Axialsymmetrie ungeeignet für die Entwicklung in spin-gewichteten Kugelflächenfunktionen ist und diskutieren Alternativen. Wir leiten die axialsymmetrischen Einsteingleichungen in geeigneter Eichung her und lösen die linearisierten Gleichungen analytisch. Eine neuartige Formulierung von Einsteins Zwangsbedingungen stellt diese als evolutionäres System dar. Wir analysieren das gesamten System an Gleichungen und führen Modifikationen ein, die uns erlauben, zwei Sätze an lokal wohlgestellten Problemen zu formulieren. Unsere numerische Implementierung benutzt eine hybride Diskretisierung bestehend aus Techniken der finiten Differenzen und der Pseudo- Spektralmethode. Wir simulieren die hergeleiteten Gleichungen und präsentieren eine erfolgreiche Implementierung der parabolisch-hyperbolischen Formulierung der nichtlinearen Zwangsbedingungen. Dafür leiten wir mehrere Möglichkeiten her, um die Anfangswerte am regulären Ursprung zu erhalten. Wir demonstrieren weiterhin, dass unsere Implementierung in der Lage ist, die exakte lineare Lösung unter Berücksichtigung aller Zwangsbedingungen zu reproduzieren. Die in dieser Dissertation erhaltenen Resultate weisen eine mögliche Lösung auf, wie Einsteins Vakuumgleichungen numerisch in sphärischen Polarkoordinaten mit regulärem Ursprung simuliert werden können. Wir präsentieren eine der ersten numerischen Studien eines evolutionären Lösers der Zwangsbedingungen.